PROBABILIDAD

Las probabilidades son muy útiles, ya que pueden servir para desarrollar estrategias. Por ejemplo, algunos automovilistas parecen mostrar una mayor tendencia a aumentar la velocidad si creen que existe un riesgo pequeño de ser multados; los inversionistas estarán más interesados en invertirsedinero si las posibilidades de ganar son buenas. El punto central en todos estos casos es la capacidad de cuantificar cuan probable es determinado evento. En concreto decimos que las probabilidades se utilizan para expresar cuan probable es un determinado evento.

2.1.1 Concepto clásico y como frecuencia relativa. 1 Definición Clásico. La probabilidad clásica: el enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables, entre el número de resultados posibles.

2 La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio maestral:

Como frecuencia relativa 1 probabilística: se basa en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. La probabilidad de que un evento suceda se calcula por medio de:

P (E) número de veces que el evento ocurrió en el pasado

Numero total de observaciones

2 Definición Frecuencia. La definición frecuentita consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. Sea un experimento aleatorio cuyo espacio maestral es E Sea A cualquier suceso perteneciente a E Si repetimos n veces el experimento en las mismas Condiciones, la frecuencia relativa del suceso A será: Cuando el número n de repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge hacia un valor que llamaremos probabilidad del suceso A. Es imposible llegar a este límite, ya que no podemos repetir el experimento un número infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse Esta definición frecuentita de la probabilidad se llama también probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio correspondiente. Algunos autores las llaman probabilidades teóricas.

2.1.2 interpretación subjetiva de probabilidad

1 La probabilidad subjetiva de un evento: se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos.

2 Concepto subjetivo de probabilidad: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento, asignado por una persona con base en cualquier información de que disponga.

2.2 probabilidad de eventos Definición 1 La probabilidad de un evento A es la suma de los pesosde todos los puntos muéstrales en A por lo tanto 0<>

2.2.1 definición de espacio maestral Definición 1 Un espacio maestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un evento o muestra. Definición 2 Espacio maestral: es el conjunto de todos lo s resultados posibles de un experimento estadístico y se representa con el símbolo S.

2.1.3 discreto y continuo 1. Discreto: si un espacio maestral contiene un número finito de posibilidades o una serie interminable con tantos elementos como números enteros existentes. 2. Discreto: Es aquel donde se puede contar el número de posibles resultados. 1. Continuo: No se puede enumerar los posibles resultados, debido a que, el espacio muestra continuo esta definido sobre la recta de los números reales. 2. Si el espacio muestral contiene un número infinito de elementos, es decir, no se puede establecer una correspondencia biunívoca entre E y N. 2.2.3. Definición de evento. 1. un evento es un subconjunto de un espacio muestral. 2. Evento: es uno o más de los resultados posibles de hacer algo, o uno de los resultados posibles de realizar un experimento. 2.2.4. Simbología, uniones e intersecciones. 1. A, B, C…=conjuntos. 2. a ,b ,c…=elementos de conjuntos 3. =unión de conjuntos 4. =intersección de conjuntos 5. A"= complemento de un conjunto 6. / =dado que: 7. \ diferencia 8. =diferente de no es elemento de(((9. Elemento de(((10. 11. =subconjunto impropio de 12. R= conjunto de los números reales 13. N= conjunto de los números naturales 14. C= conjunto de los números complejos 15. n!= factorial de un numero entero positivo 16. Q= conjunto de los números fraccionarios 17. I= conjunto de los números irracionales 18. c= subconjuntos Conjunto nulo o vacio(((19.

{ }= yaves. Conjuntos vacíos

Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A U B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A & cap B. Si A y B no tienen ningún elemento común se denominan conjuntos disjuntos ya que su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Ã~. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A U B = {2, 4, 6, 8, 10}, A U C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A n B = {4, 6} y A n C = Ã~. 2.2.5. DIAGRAMA DE VENN A U B. donde los elementos pertenecen así mismo

A U B A U B

El conjunto universal se representa por medio del figura de: La intersección esta dada por: A ÇB = x

A Ç B

2.3. Técnicas de conteo 1 Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. 2 Las técnicas de conteo son aquello principios que se usan para contar resultados que no se conocen o que son muy extensos Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos. 2.3.1 diagrama de árbol

1. Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

2. Los diagramas de árboles una herramienta muy que sirve para representar gráficamente una manera del como se pueden resolver un determinado problema

El diagrama de árbol por lo regular siempre empieza con un circulo, de ahí mismo se dividen en ramas.

Solución:

2.3.2 notación factorial 1 notación factorial: es el producto de n entero positivo hasta 1 n! =n (n-1)*(n-2)*(n-3)….3, 2.1 2 En algunos problemas dematemáticas se nos presentan multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.

Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta l y se define como:

4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee "cuatro factorial"

3 x 2 x 1 = 3! Se lee "tres factorial"

En términos generales:

n(n-1)(n-2)…x 2 x 1 = n! Se lee "n factorial" 2.3.3 permutación 1 Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles. n P r = n!

(n – r )!

2 permutación: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. 2.3.4 combinaciones 1 Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden. n C r = n!

r! (n – r )!

2 una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. 2.3.5 teorema d el binomio 1 el teorema del binomio esta dado por el principio de que toda palabra tiene su inverso como por ejemplo bueno= malo, bonito= feo, etc.

Tenemos un ejemplo donde estamos utilizando dos variales independientes X y Y suponiendo que X es bueno y Y es malo. para n=2, n=3, n=4:

De una manera mas generalizada tenemos

2 le teorema del binomio es un resultado de análisis del como de se pueden combinar dos tipos de diferentes de eventos. 2.4 probabilidad con técnicas de conteo Como bien se dijo las técnicas de conteo es una herramienta fundamental para contar números no muy precisos. 2.4.1 aplicación del concepto clásico de probabilidad Como sabemos la probabilidad clásica resulta de las situaciones que tienen resultados igualmente probables. Los juegos de azar, entre los que se encuentran el tiro de monedas y de dados o juegos de cartas. Como por ejemplo: Si cada carta de un mazo de 52 naipes tiene la misma posibilidad de ser seleccionada, la probabilidad de sacar cualquier carta será 1/52: = P(A)=I carta / 52 cartas. 2.4.2 ejercicios con permutaciones Ejercicio 1 Consideremos a, b, c. ¿Cuántos arreglos posibles diferentes tenemos? Las permutaciones son abc, acb, bac, bca, cab y cba. Como vemos tenemos 6 arreglos distintos. nPr = 3P2 =6 Ejercicio 2 ¿Cuántas ordenaciones diferentes der ocho letras se pueden hacer utilizando las letras RRRRUUUN? Solucion Sabemos que tenemos 8 letras, 4 eres, 3 ues y 1 ene, las cuales dan lugar a: 8P 4.3.1 = 280 2.4.3 ejercicios de combinaciones Ejercicio 1 ¿Cuantos comités diferentes de tres miembros se pueden seleccionar a partir de un grupo de personas? Solución 10C3 = 120 Ejercicio 2 Suponga que queremos formar un comité constituido por una mujer y dos hombres, a partir de un grupo de 4 mujeres y seis hombres. ¿Cuántas ordenaciones diferentes son posibles? Solución (4C1 ) (6 C2 ) = 4 x 14 = 60 2.4.4 axiomas 1. una axioma es una regla ya establecida que no necesta comprobación. 2. axioma es una regla o ley ya establecida, que para estos casos no necesita llevarla ala demostración o comprobación. Axiomas 1. (0= P(A) =1) 2. P(S)= 1 3. A1, A2, A3, …AK son mutuamente excluyentes, entonces

S= entonces son eventos disyuntos((AnB=

P(A1 UA…)= P?( A1…AK) A1U A2=P(A1) +p(A2 )… 2.4.5 Teoremas Los teoremas son una demostración de los axiomas, o sea un teorema son un suceso que permite la demostración de alguna ley o regla. )(esconjunto vacio, entonces P(((i) si (((a) An A((b) An

(((((An

ii) si A" es el complemento de un evento entonces

P(A" )=1-P(A) AC

S=1

S=A U A"

P(S)=P(A) +P( A") P( A")=1- P(A) iii) si A c B entonces P(A) = P(B) AnB=A AcB B=A U B/A P(B)= P(A) +P( B/A) a) P(B/A) =0 P( B)=P( A) b) P(B/A)> 0 P( B)> P( A) iv) Sean A y B dos eventos entonces: P( AU B)= P(A) +P( B) –P(AnB)

2.5 probabilidad condicional 1 Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra.

2 es la posibilidad de que ocurra el evento A dado que B ha ocurrido.