27 nov 2010

PARCIAL FINAL_Procesos Administrativos.

Buenas noches apreciados estudiantes:

Tendrán plazo para entregar el Parcial hasta el día martes.

Éxitos.

Descargue su parcial aquí.

Regla de la cadena

Derivada de una función compuesta

Regla de la cadena

Si consideramos las ecuaciones $y=u^{3}, \; u=5x^{2}+8$ entonces puede escribirse "y" como $y=(5x^{2}+8)^{3}$.

En igual forma, si $y=\sqrt{u}, \; u=4x^{2}+5x+2$ entonces puede expresarse "y" como$y=\sqrt{4x^{2}+5x+2}$.

En general, si $y=f(u), \; u=g(x)$ entonces $y=f(g(x))$.

Las ecuaciones anteriores dan en forma explícita las siguientes funciones:

$f=\{(u,y)/\;y=f(u)\}$

$g=\{(x,u)/\;u=g(x)\}$

$h=\{(x,y)/\;y=f(g(x))\}$

La función $h$ para la cual $h=f(g(x))$ recibe el nombre de función compuesta y se escribe $h=(fog)(x)=f(g(x))$.

Observe que los elementos del dominio de $h$ son los $x$ que pertenecen al dominio de la función $g$, tales que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$.

Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:

Otros ejemplos de funciones compuestas son:

  1. $h(x)= \sqrt[3]{6x-4}\;$ donde $f(x)=\sqrt[3]{x}\;$ y $g(x)=6x-4$
  2. $h(x)= e^{3x^{2}+1}\;= f(g(x))$ donde $f(x)=e^{x}\;$ y $g(x)=3x^{2}+1$
Determinaremos ahora la derivada de una función compuesta.

Teorema

Si la función $g=\{(x,y)/\; u=g(x)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{1}$ y si la función $f=\{(u,y)/\;y=f(u)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{2}$ tal que$S_{2}=\{g(x)/\;x \in S_{2} \}$, entonces la función compuesta $f(g)=\{(x,y)/\;y=f(g(x))\}$es derivable sobre $S_{1}$ y $D_{x}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$, para $x \in S_{1}$.
Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena.

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

  1. $D_{x}[f(3x^{2}+1)]= f'(3x^{2}+1)\cdot D_{x}(3x^{2}+1)= f'(3x^{2}+1)\cdot 6x$

  2. $\displaystyle{D_{x}[f(\sqrt{x})]=f'(\sqrt{x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ con 0$">

  3. $\displaystyle{D_{x}[f(\frac{2}{x})]=f'(\frac{2}{x})\cdot D_{x}(\frac{2}{x})=f'(\frac{2}{x})\cdot \frac{-2}{x^{2}}}$
Corolario
Si la función $g=\{(x,u)/\;u=g(x)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{1}$ y si $[g(x)]^{p}$ y $[g(x)]^{p-1}$ están definidas para $x \in S_{2}$ con $S_{2}\subseteq S_{1}, \; (p \in Q)$, entonces la función $g^{k}= \{(x,y)/\;y=[g(x)]^{p}\}$ es derivable sobre $S_{2}$ y además$D_{x}[g(x)^{p}]= p(g(x))^{p-1}\cdot D_{x}g(x)$, para $x \in S_{2}$.

Este teorema es una aplicación inmediata de la regla de la cadena en la forma$D_{x}y=D_{u}y\cdot D_{x}u$ con $y=u^{p}, \; u=g(x)$ y $D_{u}y=p \cdot u^{p-1}$

Ejemplos: de derivadas de funciones compuestas

  1. $D_{x}(5x+3)^{4}$

    En este caso $u=5x+3$ por lo que

    $D_{x}[(5x+3)^{4}]$

    $=4(5x+3)^{3}\cdot D_{x}(5x+3)$

    $= 4(5x+3)^{3}\cdot 5= 20(5x+3)^{3} $

  2. $D_{x}[(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-2}]$

    $=-2(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-3}\cdot D_{x}(3x^{4}+5x^{2}+4)$

    $= -2(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-3}\cdot (12x^{3}+10x) $

  3. $D_{x}\sqrt{5x^{2}+4}$

    $\displaystyle{=D_{x}(5x^{2}+4)^{\frac{1}{2}}}$

    $\displaystyle{=\frac{1}{2}\cdot (5x^{2}+4)^{\frac{-1}{2}}\cdot (10x+0)}$

    $\displaystyle{=\frac{5x}{\sqrt{5x^{2}+4}}}$

  4. $D_{x}\sqrt[4]{6x^{4}+7x^{2}}$

    $\displaystyle{=D_{x}(6x^{4}+7x^{2})^{\frac{1}{4}}}$

    $\displaystyle{=\frac{1}{4}\cdot (6x^{4}+7x^{2})^{\frac{-3}{4}}\cdot (24x^{3}+14x)}$

    $\displaystyle{=\frac{12x^{3}+7x}{2\sqrt[4]{(6x^{4}+7x^{2})^{3}}}}$

  5. $D_{x}\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}$

    $\displaystyle{=\frac{1}{2{\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}}}\cdot \left(5+\frac{12x}{2\sqrt{6x^{2}+1}}\right)}$

    $\displaystyle{\frac{1}{2{\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}}}\cdot \left(\frac{5\sqrt{6x^{2}+1}+6x}{\sqrt{6x^{2}+1}}\right)}$