9 sept 2010

IDEA INTUITIVA DE LIMITE


En este capítulo vamos a presentar la idea formal de límite como una operación aplicada a una función en un punto.

Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientes de funciones.

Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.

La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del límite de una función en un punto.

Ejemplo 1:

Consideramos la función definida por $f(x)=x^{2}-1$ con dominio en $I\!\!R$.

La representación gráfica es la siguiente:

Nos interesa observar el comportamiento de la función $f$ para valores de $x$cercanos a 2 pero no iguales a 2.

Veamos las tablas siguientes:

Tabla a.

Tabla b.

Puede observarse de ambas tablas que conforme $x$ se aproxima más a 2, $f(x)$toma, cada vez, valores más próximos a 3.

En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos a 2", el conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez más a tres".

En este caso se dice que cuando $x$ tiende a 2, que se simboliza $x\rightarrow 2$, entonces$f(x)\rightarrow 3$, o sea $f(x)$ tiende a 3. Esto puede escribirse como $\begin{array}{ccc} f(x) & \rightarrow & 3 \\ x & \rightarrow & 2 \end{array}$ y utilizando la notación de límites escribimos $\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=3$
que se lee: el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a 2, es igual a 3.

Ejemplo 2:

Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación $y=x^{2}$, el eje $x$ y la recta de ecuación $x=1$.

La representación gráfica de esta región es la siguiente:

Dividimos el intervalo $[0,1]$ en partes iguales señaladas por los valores:

$\displaystyle {0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},...,\frac{n-1}{n},1}$

formando sobre cada una de las partes, un rectángulo cuyo lado vertical izquierdo toca a la parábola en un punto, y cuya base mide $\displaystyle {\frac{1}{n}}$ en cada caso. Luego, el área de cada uno de estos rectángulos podemos expresarlas como sigue:

$A_{1}=0\cdot \displaystyle {\frac{1}{n},\;A_{2}=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\ri... ...(\frac{3}{n}\right)^{2},\;..., A_{n}=\frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2}}$

Así, la suma $S_{n}$ de todas la áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:

$S_{n}=\displaystyle {\frac{1}{n}\cdot0+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+... ...}{n}\left(\frac{2}{n}\right)^{2}+...+\frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2}}$

de donde $S_{n}=\displaystyle {\frac{1+2^{2}+3^{2}+...+(n-1)^{2}}{n^{3}}}$

Como $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+(n-1)^{2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1)$, cuya prueba está al final del capítulo, entonces:

$S_{n}=\displaystyle {\frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^{3}}}$

de donde $S_{n}=\displaystyle {\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6n^{2}}-\frac{1}{2n}\right)}$

Tomando $r_{n}=\displaystyle {\frac{1}{6n^{2}}-\frac{1}{2n}}$ entonces $S_{n}=\displaystyle {\frac{1}{3}+r_{n}}$

Observemos que si a "n" se le asignan valores positivos cada vez más grandes, entonces $r_{n}$ se aproxima a cero.

Si en la figura 1 se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece el número de rectángulos y la suma $S_{n}$ de las áreas de ellos se aproxima al área de la figura curvilínea.

Como $r_{n}$ se aproxima a cero cuando $n$ crece indefinidamente, puede decirse que$\displaystyle {S_{n}=\frac{1}{3}+r_{n}}$ se aproxima al número $\displaystyle {\frac{1}{3}}$, y así el área de la región tiende a $\displaystyle {\frac{1}{3}}$.

La expresión "n" toma valores positivos cada vez mayores puede sustituirse por$n\rightarrow +\infty$,(n tiende a más infinito) y como $S_{n}\rightarrow \displaystyle {\frac{1}{3}}$, ($S_{n}$ tiende a $\displaystyle {\frac{1}{3}}$ cuando$n\rightarrow +\infty$) , entonces, volviendo a utilizar la notación de límites escribimos:

$\displaystyle {\lim_{n \rightarrow{+\infty}}{S_{n}}=\lim_{n \rightarrow{+\infty}}{\left(\frac{1}{3}+r_{n}\right)}=\frac{1}{3}}$

que se lee: el límite de $S_{n}$, cuando $n$ tiende a más infinito es $\displaystyle {\frac{1}{3}}$.

Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor que toma la función exactamente en el punto. Así, en el ejemplo 1, no importa cuál es el valor de $f(2)$, sino el valor de $f(x)$ cuando $x$ tiende a 2. Esto se debe a que el concepto de límite de una función en un punto es independiente del valor que toma la función en este.

Puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aún así exista el límite. El siguiente ejemplo presenta esta situación.

Ejemplo 3:

Sea $f$ la función definida por la ecuación $f(x)=\displaystyle {\frac{2x^{2}-3x-2}{x-2}}$ para toda$x \in I\!\!R,\;\;x\neq 2$.

La representación gráfica de $f$ es:

De la gráfica puede observarse que aunque la función $f$ no está definida para $x=2$, cuando $x$ toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=5}$
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