Teoremas sobre derivadas
Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.
Teorema | |
La derivada de una función constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante. |
Ejemplos:
- Si entonces
- Si entonces
- Si entonces
Teorema | |
Si entonces es derivable sobre y Prueba: Ejercicio para el estudiante. |
Ejemplos:
Teorema | |
Si con y pertenece al conjunto A en el que está bien definida, entonces es derivable en y Prueba: Al final del capítulo.
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Ejemplos:
- Si entonces
- Si entonces
Teorema | |
Si la función es derivable sobre un intervalo y es un número real, entonces la función para la que es derivable sobre , además . Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definición de derivada de una función. |
Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
Ejemplos:
- Si entonces
- Si entonces
Teorema | |
Si y son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la función es derivable sobre y además, para . Prueba: Al final del capítulo.
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Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones.
También:
donde son funciones derivables sobre un intervalo .
Ejemplos:
1. |
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2. |
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3. |
Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre , y además para cualquier se tiene que
Ejemplos:
Teorema | |
Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre , y además para cualquier se tiene que Prueba: Al final del capítulo. |
Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera.
Ejemplos:
1. |
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2. |
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3. | , con a, b, c, k constantes.
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4. |
Teorema | |
Si y son dos funciones derivables y si sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre , y además para cualquier y se tiene que Prueba: Al final del capítulo. |
Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.
Ejemplos:
con
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con
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