27 nov 2010

Regla de la cadena

Derivada de una función compuesta

Regla de la cadena

Si consideramos las ecuaciones $y=u^{3}, \; u=5x^{2}+8$ entonces puede escribirse "y" como $y=(5x^{2}+8)^{3}$.

En igual forma, si $y=\sqrt{u}, \; u=4x^{2}+5x+2$ entonces puede expresarse "y" como$y=\sqrt{4x^{2}+5x+2}$.

En general, si $y=f(u), \; u=g(x)$ entonces $y=f(g(x))$.

Las ecuaciones anteriores dan en forma explícita las siguientes funciones:

$f=\{(u,y)/\;y=f(u)\}$

$g=\{(x,u)/\;u=g(x)\}$

$h=\{(x,y)/\;y=f(g(x))\}$

La función $h$ para la cual $h=f(g(x))$ recibe el nombre de función compuesta y se escribe $h=(fog)(x)=f(g(x))$.

Observe que los elementos del dominio de $h$ son los $x$ que pertenecen al dominio de la función $g$, tales que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$.

Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:

Otros ejemplos de funciones compuestas son:

  1. $h(x)= \sqrt[3]{6x-4}\;$ donde $f(x)=\sqrt[3]{x}\;$ y $g(x)=6x-4$
  2. $h(x)= e^{3x^{2}+1}\;= f(g(x))$ donde $f(x)=e^{x}\;$ y $g(x)=3x^{2}+1$
Determinaremos ahora la derivada de una función compuesta.

Teorema

Si la función $g=\{(x,y)/\; u=g(x)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{1}$ y si la función $f=\{(u,y)/\;y=f(u)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{2}$ tal que$S_{2}=\{g(x)/\;x \in S_{2} \}$, entonces la función compuesta $f(g)=\{(x,y)/\;y=f(g(x))\}$es derivable sobre $S_{1}$ y $D_{x}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$, para $x \in S_{1}$.
Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena.

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

  1. $D_{x}[f(3x^{2}+1)]= f'(3x^{2}+1)\cdot D_{x}(3x^{2}+1)= f'(3x^{2}+1)\cdot 6x$

  2. $\displaystyle{D_{x}[f(\sqrt{x})]=f'(\sqrt{x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ con 0$">

  3. $\displaystyle{D_{x}[f(\frac{2}{x})]=f'(\frac{2}{x})\cdot D_{x}(\frac{2}{x})=f'(\frac{2}{x})\cdot \frac{-2}{x^{2}}}$
Corolario
Si la función $g=\{(x,u)/\;u=g(x)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{1}$ y si $[g(x)]^{p}$ y $[g(x)]^{p-1}$ están definidas para $x \in S_{2}$ con $S_{2}\subseteq S_{1}, \; (p \in Q)$, entonces la función $g^{k}= \{(x,y)/\;y=[g(x)]^{p}\}$ es derivable sobre $S_{2}$ y además$D_{x}[g(x)^{p}]= p(g(x))^{p-1}\cdot D_{x}g(x)$, para $x \in S_{2}$.

Este teorema es una aplicación inmediata de la regla de la cadena en la forma$D_{x}y=D_{u}y\cdot D_{x}u$ con $y=u^{p}, \; u=g(x)$ y $D_{u}y=p \cdot u^{p-1}$

Ejemplos: de derivadas de funciones compuestas

  1. $D_{x}(5x+3)^{4}$

    En este caso $u=5x+3$ por lo que

    $D_{x}[(5x+3)^{4}]$

    $=4(5x+3)^{3}\cdot D_{x}(5x+3)$

    $= 4(5x+3)^{3}\cdot 5= 20(5x+3)^{3} $

  2. $D_{x}[(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-2}]$

    $=-2(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-3}\cdot D_{x}(3x^{4}+5x^{2}+4)$

    $= -2(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-3}\cdot (12x^{3}+10x) $

  3. $D_{x}\sqrt{5x^{2}+4}$

    $\displaystyle{=D_{x}(5x^{2}+4)^{\frac{1}{2}}}$

    $\displaystyle{=\frac{1}{2}\cdot (5x^{2}+4)^{\frac{-1}{2}}\cdot (10x+0)}$

    $\displaystyle{=\frac{5x}{\sqrt{5x^{2}+4}}}$

  4. $D_{x}\sqrt[4]{6x^{4}+7x^{2}}$

    $\displaystyle{=D_{x}(6x^{4}+7x^{2})^{\frac{1}{4}}}$

    $\displaystyle{=\frac{1}{4}\cdot (6x^{4}+7x^{2})^{\frac{-3}{4}}\cdot (24x^{3}+14x)}$

    $\displaystyle{=\frac{12x^{3}+7x}{2\sqrt[4]{(6x^{4}+7x^{2})^{3}}}}$

  5. $D_{x}\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}$

    $\displaystyle{=\frac{1}{2{\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}}}\cdot \left(5+\frac{12x}{2\sqrt{6x^{2}+1}}\right)}$

    $\displaystyle{\frac{1}{2{\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}}}\cdot \left(\frac{5\sqrt{6x^{2}+1}+6x}{\sqrt{6x^{2}+1}}\right)}$

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