Matemáticas Autónoma de Nariño: Completación de cuadrados

Completación de cuadrados

Este procedimiento nos permitirá obtener a partir de una expresión de la forma $\displaystyle{ x^{2}+bx+c}$ , una expresión de la forma $\displaystyle{\left (x\mbox { } +\mbox { }{b \over {2}} \right ) ^ {2} + k}$

	Teorema
	Si y son constantes reales y es una variable real, entonces se cumple la siguiente igualdad: $\begin{displaymath}\displaystyle{ x^{2}+bx+c = \left (x\mbox { } +\mbox { }{\,b ... ...\mbox { } - \mbox { }{b ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }c} \end{displaymath}$

Demostración:

$\displaystyle{ \left (x\mbox { } +\mbox { }{b \over {2}} \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{b ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }c \mbox { }}$		$\mbox { }\left [\mbox { }x^{2}\mbox { }+\mbox { }2(x)\left ({ b \over 2}\right ... ...{2}\mbox { } \right ]\mbox { } - \mbox { }{b^{2} \over 4}\mbox { } + \mbox { }c$

		$\displaystyle{ \mbox { } \left [\mbox { }x ^{2}\mbox { }+\mbox { }bx \mbox { }+\mbox { }{b^{2} \over 4}\mbox { } \right ]}$

		$\displaystyle{ \mbox { }x^{2}\mbox { }+\mbox { }bx\mbox { }+\mbox { }{b^{2} \over 4}\mbox { }-\mbox { }{b^{2} \over 4}\mbox { }+\mbox { }c}$

		$\displaystyle{ \mbox { }x^{2}\mbox { }+\mbox { }bx\mbox { }+\mbox { }c}$

por lo que:

$\begin{displaymath}\displaystyle{ x^{2}+bx+c = \left (x\mbox { } +\mbox { }{\,b ... ...\mbox { } - \mbox { }{b ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }c} \end{displaymath}$

así por ejemplo, usando el teorema anterior se tiene que:

a) $\displaystyle{ x^{2}+6x+5\mbox { } = \left (x\mbox { } +\mbox { }{\,6 \over {2}} \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{6 ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }5}$

b) $\displaystyle{ x^{2}-3x+2\mbox { }=\mbox { } x^{2}+(-3)x+2 \mbox { }=\mbox { }... ... \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{-3 ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }2}$

c) $\displaystyle{ x^{2}-8x-7\mbox { } =\mbox { }x^{2}+(-8x)-7\mbox { }=\mbox { } ... ...\right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{-8 ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }-7}$

d) $\displaystyle{ x^{2}+x-1\mbox { } =\mbox { }x^{2}+x+(-1)\mbox { }=\mbox { } \l... ... \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{1 ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }-1}$

Matemáticas Autónoma de Nariño

8 nov 2010

Completación de cuadrados

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