8/11/2010

Factorización por completación de cuadrados

Factorización por completación de cuadrados

Ejemplo:

Usando la completación de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones:

$ \displaystyle{ \mbox{a)}x^{2}+5x+4 \hspace{1.5cm}\mbox{b) }x^{2}+4x+2 \hspace{1.5cm}\mbox{c) }4x^{2}+8x-5\hspace{1.5cm}\mbox{d) }3x^{2}-7x+2} $

Solución:

$ \displaystyle{ \mbox {a) }x^{2}+5x+4\mbox { }} $$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + {5 \over 2}\right)^{2}\mbox { }-\mbox { }{5^{2} \over 4}\mbox { }+\mbox { }4} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + {5 \over 2}\right)^{2}\mbox { }-\mbox { }{25 \over 4}\mbox { }+\mbox { }{16 \over 4}} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + {5 \over 2}\right)^{2}\mbox { }-\mbox { }{9 \over 4}} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left [\left (x + {5 \over 2}\right)\mbox { }-\mbox { ... ...t ]\left [\left (x + {5 \over 2}\right)\mbox { }+\mbox { }{3 \over 2}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + {5 \over 2}\mbox { }-\mbox { }{3 \over 2}\right )\left (x + {5 \over 2}\mbox { }+\mbox { }{3 \over 2}\right )} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x \mbox { }+ \mbox { } {2 \over 2}\right)\mbox { } \left (x \mbox { }+ \mbox { } {8 \over 2}\right)} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x+1 \right )\left (x+4 \right )} $

Por lo que la factorización de $ \displaystyle{ x^{2}+5x+4\mbox { es }\left (x+1\right)\left (x+4\right)} $ o sea:$ \displaystyle{ x^{2}+5x+4\mbox { }=\mbox { }\left (x+1\right)\left (x+4\right)} $

$ \displaystyle{ \mbox {b) }x^{2}+4x+2\mbox { }} $$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + {4 \over 2}\right)^{2}\mbox { }-\mbox { }{4^{2} \over 4}\mbox { }+\mbox { }2} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + 2 \right)^{2}\mbox { }-{16 \over 4}\mbox { }+2} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + 2 \right)^{2}\mbox { }-4\mbox { }+2} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + 2 \right)^{2}\mbox { }-2} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + 2 \right)^{2}\mbox { }-\left (\sqrt{2}\right)^2} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left [\left (x + 2\right)\mbox { }-\sqrt{2}\right ]\left [\left (x + 2\right)\mbox { }+\mbox { }\sqrt{2}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }\left (x + 2 \mbox { }-\sqrt{2}\right)\left (x + 2 \mbox { }+\mbox { }\sqrt{2}\right)} $

Por lo que la factorización de $ \displaystyle{ x^{2}+4x+2\mbox { es }\left (x + 2 \mbox { }-\sqrt{2}\right)\left (x + 2 \mbox { }+\mbox { }\sqrt{2}\right)} $ o sea:

\begin{displaymath}\displaystyle{ x^{2}+4x+2\mbox { }=\left (x + 2 \mbox { }-\sqrt{2}\right)\left (x + 2 \mbox { }+\mbox { }\sqrt{2}\right)} \end{displaymath}

$ \displaystyle{ \mbox {c) }4x^{2}+4x+2 \mbox { }} $$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left (x^{2}+2x-{5 \over 4}\right )} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left [\left(x +{2 \over 2}\right )^{2}\mbox { }- \mbox { }{2^{2} \over 4} \mbox { }- \mbox{ }{5 \over 4}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left [\left(x +1\right )^{2}\mbox { }- \mbox { }{4 \over 4} \mbox { }- \mbox{ }{5 \over 4}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left [\left(x +1\right )^{2}\mbox { }- \mbox { }1 \mbox { }- \mbox{ }{5 \over 4}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left [\left(x +1\right )^{2}\mbox { }- \mbox{ }{9 \over 4}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left [\left(x +1\right )^{2}\mbox { }- \mbox{ }\left ({3 \over 2}\right )^{2}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left [\left(x +1\right )\mbox { }- \mbox{ }{3 \over 2}\right ]\left [\left(x +1\right )\mbox { }+ \mbox{ }{3 \over 2}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left(x +1\mbox { }- \mbox{ }{3 \over 2}\right )\left(x +1\mbox { }+ \mbox{ }{3 \over 2}\right )} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }4 \left(x\mbox { }- \mbox{ }{1 \over 2}\right )\left(x\mbox { }+ \mbox{ }{5 \over 2}\right)} $

o sea: $ \displaystyle{ 4{x}^{2}+8x-5} \mbox { }=\mbox { }4\left (x\mbox { }-\mbox { }{1 \over 2}\right )\left (x\mbox { }+\mbox { }{5 \over 2}\right ) $

$ \displaystyle{ \mbox {d) }3x^{2}-7x+2 \mbox { }} $$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left (x^{2}\mbox { }-\mbox { }{7 \over 3}x\mbox { }+\mbox { }{2 \over 3}\right )} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left [\left (x-{{7 \over 3} \over 2}\right )^{2}\mb... ...\left ({7 \over 3}\right )^{2} \over 4}\mbox { }+\mbox { }{2 \over 3}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{{49 \over 9} \over 4}\mbox { }+ \mbox { }{2 \over 3}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{49 \over 36}\mbox { }+\mbox { }{2 \over 3}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{49 \over 36}\mbox { }+\mbox { }{24 \over 36}\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{25 \over 36}\mbox { }\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }\left ({5 \over 6}\right )^{2}\mbox { }\right ]} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left (x-{7 \over 6}-{5 \over 6}\right )\left (x-{7 \over 6}+{5 \over 6}\right )} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left (x-{12 \over 6}\right )\left (x-{2 \over 6}\right )} $
$=$$ \displaystyle{ \mbox { }3 \left (x-2\right )\left (x-{1 \over 3}\right )\mbox ... ...2}-7x+2 \mbox { }= \mbox { }3\left (x-2 \right )\left (x-{1 \over 3} \right )} $

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