8 nov 2010

Factorización por fórmulas notables

Factorización por fórmulas notables

En esta sección enunciamos algunos teoremas en los cuales se establecen ciertas identidades, que denominaremos fórmulas notables, y que serán utilizadas para factorizar algunas expresiones algebraicas.

Teorema
Si $a \in I \! \!R, \, \, \, b \in I \! \!R$ entonces se cumple que:

$(a \, + \, b)^2 \, = \, a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$

Demostración:

$(a \, + \, b)^2$=$(a \, + \, b)(a \, + \, b)$
=$a \, \cdot \, a \, + \, a \, \cdot \, b \, + \, b \, \cdot \, a \, + \, b \, \cdot \, b$
=$a^2 \, + \, ab \, + \, ab \, + \, b^2$
=$a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$

Por lo tanto $(a \, + \, b)^2 = a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$ y decimos que $(a \, + \, b)^2$ es factorización de la expresión $a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$

Ejemplo:

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.$x^2 \, + \, 10x \, + \, 25 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $
b.$4x^2 \, + \, 20x \, + \, 25 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $
c.$9a^2 \, + \, 6a \, + \, 1$

Solución:

a.$x^2+10x+25$
$= (x)^2+2(x)(5)+5^2$
$= (x+5)^2$

Por lo que la factorización de $x^2+10x+25$ es $(x+5)^2$ o sea$x^2+10x+25=(x+5)^2$

b.$4x^2+20x+25$
$= (2x)^2+2(2x)(5)+5^2$
$= (2x+5)^2$

Por lo que la factorización de $4x^2+20x+25$ es $(2x+5)^2$ o sea$4x^2+20x+25=(2x+5)^2$

c.$9a^2+6a+1$
$= (3a)^2+2(3a)(1)+1^2$
$= (3a+1)^2$

Por lo que la factorización de $9a^2+6a+1$ es $(3a+1)^2$ o sea$9a^2+6a+1=(3a+1)^2$

Ejercicio:
Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.$25x^2+30x+9$
2.$4r^2+12r^3s^2+9s^4$
3.$a^2+8ab+16b^2$
4.$2x^2+2\sqrt{2}x+1$
5.${c^2\over9}+{2c\over d}+{9\over d^2}$
6.${9h^2\over16}+{4h^k\over3}+{64k^2\over81}$


Teorema
Si $a \in I \!\! R, \, \, \, b I \!\! R$ entonces se cumple que: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .

Demostración:

$(a-b)^2$=$(a-b)(a-b)$
=$a[a+(-b)]+(-b)[a+(-b)]$
=$a^2-ab-ab+b^2$
=$a^2-2ab+b^2$

Por lo tanto $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ y decimos que $(a-b)^2$ es la factorización de la expresión $a^2-2ab+b^2$.

Ejemplo:

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.${x^2\over4}-\sqrt{3}x+3 \, \, \, \, \, \, \,$
b.$9x^2y^2-12xy+4 \, \, \, \, \, \, \,$
c.$3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$

Solución:

a.${x^2\over4}-\sqrt{3}x+3$
$= ({x\over2}-\sqrt{3})^2$

Por lo que la factorización de ${x^2\over4}-\sqrt{3}x+3$ es $({x\over2}-\sqrt{3})^2$

o sea: ${x^2\over4}-\sqrt{3}x+3=({x\over2}-\sqrt{3})^2$

b.$9x^2y^2-12xy+4$
$= (3xy)^2-2(3xy)(2)+(2)^2$
$= (3xy - 2)^2$

Por lo que la factorización de $9x^2y^2-12xy+4$ es $(3xy - 2)^2$

o sea: $9x^2y^2-12xy+4=(3xy - 2)^2$

c.$3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$
$= (\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$

Por lo que la factorización de $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$ es $(\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$

o sea: $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2=(\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$

Ejercicio:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.$20x^2-2\sqrt{5}xy+{y^2\over4}$
2.${1\over x^2}+ 4y^2-{4y\over x}$
3.${4n^2\over9}-20nm+25m^2$
4.$x^2y^2z^2-z+{1\over 4x^2y^2}$
5.${x^2\over9} - {10x\over3}+25$
6.$x^2-2\sqrt{2}xy+2y^2$

Teorema
Si $a \in I \! \!R, \, \, \, b \in I \! \!R$ entonces se cumple que $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .

Demostración:

$(a+b)(a-b)$=$a(a-b)+b(a-b)$
=$a[a+(-b)]+b[a+(-b)]$
=$a \, \cdot \, a \, + \, a(-b) \, + \, b \, \cdot \, a \, + \, b(-b)$
=$a^2-ab+ab-b^2$
=$a^2-b^2$

Por lo tanto: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ y decimos que es la factorización de la expresión $a^2-b^2$.

Ejemplo:

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.$4a^2-y^2 \, \, \, \, \, \, \, \,$
b.$3x^2 - {c^2\over25} \, \, \, \, \, \, \, \, $
c.$(3+2b)^2-(c-4^2) \, \, \, \, \, \, \, \, $
d.$9x^2-12x-4-y^2$

Solución:

a.$4a^2-y^2$
$= (2x)^2-y^2$
$= (2x+y)(2x-y)$

Por lo que la factorización de $(4x^2-y^2)$ es $(2x+y)(2x-y)$

o sea: $(4x^2-y^2)=(2x+y)(2x-y)$

b.$3x^2 - {c^2\over25}$
$= (\sqrt{3}x+{c\over5})(\sqrt{3}-{c\over5})$

Por lo que la factorización de $3x^2 - {c^2\over25}$ es $(\sqrt{3}x+{c\over5})(\sqrt{3}-{c\over5})$

o sea: $3x^2 - {c^2\over25}=(\sqrt{3}x+{c\over5})(\sqrt{3}-{c\over5})$

c.$(3+2b)^2-(c-4)^2$
$= (3+2b+c-4)(3+2b-c+4)$
$= (2b+c-1)(2b-c+7)$

Por lo que la factorización de $(3+2b)^2-(c-4)^2$ es $(2b+c-1)(2b-c+7)$

o sea: $(3+2b)^2-(c-4)^2=(2b+c-1)(2b-c+7)$

d.) $9x^2-12x+4-y^2$

$= (9x^2-12x+4)-y^2$

$= [{(3x)^2}-2(3x)(2)+(2)^2]-y^2$

$= (3x-2)^2-y^2$

$= [(3x-2)^2+y][(3x-2)^2-y]$

Por lo que la factorización de $9x^2-12x+4-y^2$ es$[(3x-2)^2+y][(3x-2)^2-y]$

o sea: $9x^2-12x+4-y^2=[(3x-2)^2+y][(3x-2)^2-y]$

Ejercicio:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1. $5x^2-8$


2. $5c^2-4a^2-4ab-b^2$


3. ${4\over9}r^2 - {25\over16}s^2$


4. ${(6a+5b)^2} - {(4c+7d)^2}$


5. ${(a+b)^2}-4c^2$


6. ${2\over3}y^2-{5\over4}$

Teorema
Si $a \in I \! \!R, \, \, \, b \in I \! \!R$ entonces se cumple que:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

Demostración:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)$

=

$a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)$

=

$a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3$

=

$a^3+(-a^2b)+a^2b+ab^2-ab^2+b^3$

=

$a^3+(-a^2b+a^2c)+(ab^2-ab^2)+b^3$

=

$a^3+b^3$

Por lo tanto: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ y decimos que $(a+b)(a^2-ab+b)(*)$ es la factorización de la expresión $a^3+b^3$

(*) $a^2-ab+b^2$ no es factorizable en el conjunto de los números reales, lo cual será estudiado posteriormente.

Ejemplo:

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.) $27 \, + \, p^3 \, \, \, \, \, \, \, \,$

b.) $8p^3 \, + \, 125q^3 \, \, \, \, \, \, \, \,$

c.) $x^3 \, + \, 2 \, \, \, \, \, \, \, \, $

d.) $5a^3 \, + \, 2b^3$

Solución:

a.) $27 \, + \, p^3$

$= (3)^3 \, + \, p^3$

$= (3 \, + \, p)(3^2 \, - \, 3p \, + \, p^2)$

$= (3 \, + \, p)(9 \, - \, 3p \, + \, p^2)$

Por lo que la factorización de $27 \, + \, p^3$es $(3 \, + \, p)(9 \, - \, 3p \, + \, p^2)$

o sea

$27 \, + \, p^3=(3 \, + \, p)(9 \, - \, 3p \, + \, p^2)$

b.) $8p^3 \, + \, 125q^3$

$= (2p)^3 \, + \, (5q)^3$

$= (2p+5q)[(2p)^2-(2p)(5q)+(5q)^2]$

$= (2p+5q)(4p^2-(10pq)+(25q^2)$

Por lo que la factorización de $8p^3 \, + \, 125q^3$es $(2p+5q)(4p^2-(10pq)+(25q^2)$

o sea

$8p^3 \, + \, 125q^3=(2p+5q)(4p^2-(10pq)+(25q^2))$

c.) $x^3+2$

$= x^3+(\sqrt[3]{2})^3$

$= x^3+(\sqrt[3]{2})[x^2-x \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2]$

$= (x+\sqrt[3]{2})(x^2-x\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$

Por lo que la factorizacón de $x^3+2$ es$(x+\sqrt[3]{2})(x^2-x\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$

o sea:

$x^3+2 = (x+\sqrt[3]{2})(x^2-x\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$

d.) $5a^3+2b^3$

$= (\sqrt[3]{5}a)^3+(\sqrt[3]{2}b)^3$

$= [\sqrt[3]{5}a+\sqrt[3]{2}b][(\sqrt[3]{5}a)^2-\sqrt[3]{5}a \sqrt[3]{2}b+(\sqrt[3]{2}b)^2]$

$=(\sqrt[3]{5}a+\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25}a^2-\sqrt[3]{10}ab+\sqrt[3]{4}b)$

Por lo que la factorización de $5a^3+2b^3$ es$(\sqrt[3]{5}a+\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25}a^2-\sqrt[3]{10}ab+\sqrt[3]{4}b)$

o sea:

$5a^3+2b^3 = (\sqrt[3]{5}a+\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25}a^2-\sqrt[3]{10}ab+\sqrt[3]{4}b)$

Ejercicio:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1. $x^3+27y^3$

2. $ \, \, \, \, \, a+a^4$

3. $ \, \, \, \, \, x^3+5$

4. $ \, \, \, \, \, 81a^7+24a^3$

5. $ \, \, \, \, \, 7a^3b^3+11$

6. $ \, \, \, \, \, (2a-b)^3+8$

Teorema
Si $a \in I \! \!R, \, \, \, b \in I \! \!R$ entonces se cumple que: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Demostración:

$(a-b)(a^2+ab+b^2)$=$[a+(-b)][a^2+ab+b^2]$
=$a(a^2+ab+b^2)+(-b)(a^2+ab+b^2)$
=$a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$
=$a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)-b^3$
=$a^3-b^3$

Por lo tanto: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ y decimos que $(a-b)(a^2+ab+b^2)*$ es la factorización de la expresión $a^3-b^3$.

(*) $a^2+ab+b^2$ no es factorizable en el conjunto de los números reales.

Ejemplo:

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.) $x^3-8$
b.) $a^3-7$

c.) $54x^3-2y^3$

d.) $3a^3b^3-125$


Solución:

a.) $x^3-8$

$= x^3-2^3$

$= (x-2)(x^2+2x+2^2)$

$= (x-2)(x^2+2x+4)$

Por lo que la factorización de $x^3-8$ es $(x-2)(x^2+2x+4)$

o sea: $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$


b.) $a^3-7$

$= a^3-(\sqrt[3]{7})^3$

$= (a-\sqrt[3]{7})[a^2+a \sqrt[3]{7}+(\sqrt[3]{7})^2]$

$= (a-\sqrt[3]{7})(a^2+a \sqrt[3]{7}+ \sqrt[3]{49})$

Por lo que la factorización de $a^3-7$ es $(a-\sqrt[3]{7})(a^2+a \sqrt[3]{7}+ \sqrt[3]{49})$

osea: $a^3-7=(a-\sqrt[3]{7})(a^2+a \sqrt[3]{7}+ \sqrt[3]{49})$

c.) $54x^3-2y^3$

$= 2(27x^3-y^3)$

$= 2[(3x)^3-y^3]$

$= 2[3x-y][(3x)^2+3xy+y^2]$

$= 2(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$

Por lo que la factorización de $54x^3-2y^3$ es $2(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$

o sea: $54x^3-2y^3 = 2(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$


d.) $3a^3b^3-125$

$= (\sqrt[3]{3}ab)^3-5^3$

$= [\sqrt[3]{3}ab-5][(\sqrt[3]{3}ab)^2+\sqrt[3]{3}ab \cdot 5+5^2]$

$= (\sqrt[3]{3}ab-5)(\sqrt[3]{9}a^2b^2+5\sqrt[3]{3}ab+25)$

Por lo que la factorización de $3a^3b^3-125$ es $(\sqrt[3]{3}ab-5)(\sqrt[3]{9}a^2b^2+5\sqrt[3]{3}ab+25)$

o sea: $3a^3b^3-125 = (\sqrt[3]{3}ab-5)(\sqrt[3]{9}a^2b^2+5\sqrt[3]{3}ab+25)$

Ejercicio:

Factorice totalmente cada una de las siguientes expresiones:

1. $a^3-64+b^3$

2. $4a^5-32a^2b^3$

3. $a^3-11$

4. $a^3-(a-1)^3$

5. $8a^2b^3-7$

6. $16x^5-2x^2$

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