Matemáticas Autónoma de Nariño: Factorización por factor común

Factorización por factor común

La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa:

Si $a \in I \!\!R, \, \, \, b \in I \!\!R, \, \, \, c \in I \!\!R,$ entonces $a \, \cdot \, (b \, + \, c) = a \, \cdot \, b \, + \, a\, \cdot \, c$

En forma más general,

Si $a \in I \!\!R, \, \, \, b_1 \in I \!\!R, \, \, \, b_2 \in I \!\!R, \, \, \, b_3 \in I \!\!R, \, \, \cdots , \, b_n \in I \!\!R$ entonces:

$a(b_1+b_2+b_3+ \cdots \, b_n) \, = \, ab_1+ab_2+ab_3+ \cdots \, ab_n$ y en tal caso decimos que

$a(b_1+b_2+b_3+ \cdots \, b_n)$ es una factorización de la expresión1 $ab_1+ab_2+ab_3+ \cdots \, ab_n$ , y que es un factor común de los sumandos de $ab_1, ab_2, \cdots , ab_n$

Ejemplo:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.	$x^2 \, + \, xy$
b.	$6xa \, - \, 12xy$
c.	$a^2 \, + \, a$

Solución:

a.	$x^2 \, + \, xy$
	$= x \, \cdot \, x \, + \, xy$
	$= x(x \, + \, y)$

Por lo que la factorización de $x^2 \, + \, xy$ es

es decir:

$x^2 \, + \, xy \, = \, x(x \, + \, y)$

b.	$6xa \, - \, 12xy$
	$= 6x \, \cdot \, a \, - \, 6 \, x \, 2y$
	$= 6x(a \, - \, 2y)$

Por lo que la factorización de $6xa \, - \, 12xy$ es $6x(a \, - \, 2y);$

es decir

$6xa \, - \, 12xy = 6x(a \, - \, 2y)$

c.	$a^2 \, + \, a$
	$= a^2 \, + \, a$
	$= a(a \, + \, 1)$

Por lo que la factorización de $a^2 \, + \, a$ es

es decir

$a^2 \, + \, a = a(a \, + \, 1)$

Ejemplo:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.	$x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2$
b.	$(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)$
c.	$a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)$
d.	$14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y$

Solución:

a.	$x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2$
	$= x^2y^2yz \, + \, x^2xy^2zz$
	$= x^2y^2z(y \, + \, xz)$

Por lo que: $x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2 \, = \, x^2y^2z(y \, + \, xz)$

b.	$(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)$
	$= 3(a \, + \, 5)\, - \, b(a \, + \, 5)$
	$= (a \, + \, 5)(3 \, - \, b)$

Por lo que: $(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5) \, = \, (a \, + \, 5)(3 \, - \, b)$

c.	$a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)$
	$= a(x \, - \, y) \, + \, (-1)(x \, - \, y)$ (*)

(*) Usando la propiedad distributiva se puede demostrar: $\, \, \, \, \, \, {a\, - \, b \, = \, (-1) \, (b \, - \, a)}$

Por lo que: $a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x) \, = \, (x \, - \, y)(a \, - \, 1)$

d.	$14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y$
	$= 14x^2 \, \cdot \, 1 \, - \, 14x^2 \, \cdot 2x \, + \, 14x^2 \, \cdot \, 4y$
	$= 14x^2 \, (1 \, - \, 2x \, + \, 4y)$