5 oct 2010

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD



Definición de continuidad
Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1.
$f(c)$ está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)
2.
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}}$ existe
3.
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}}=f(c)$

La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.

Ejemplo

Determinar si la función $f$ definida por $f(x)= \displaystyle\frac{3x}{x^2-x}$ es continua en $x=2$
Primero $f(2)=\displaystyle\frac{3\cdot 2}{4-2}=3$ por lo que f está definida en 2
Calculemos $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{3x}{x^2-x}}=\frac{3\cdot 2}{4-2}=3}$ (de aquí $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ existe)

Como $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=f(2)$ entonces f es continua en $x=2$

Note que f no está definida ni en $x=1$, ni en $x=0$ por lo que f es discontinua en esos puntos.

Ejemplo

Determine si la función $h$ definida por

$h(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \vert x-4\vert & si & x\neq 4 \\ & & \\ 3 & si & x = 4 \\ \end{array} \right.$

es o no continua en $x=4$

Se tiene que $h(4)=3$ (es decir, 4 pertenece al dominio de $h$)

Además $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{4}}{\vert x-4\vert}=\vert 4-4\vert=0$

Pero $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{4}}{h(x)}\neq h(4)$ por lo que $h$ es discontinua en $x=4$.

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Ejemplo
Sea f la función definida $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{x^2+x-2}{x+2} & si & x\neq -2 \\ & & \\ -3 & si & x=-2 \\ \end{array}\right.$
Determinar si f es continua en $x=-2$

Según la definición de la función $f(-2)=-3$.

Además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{-2}}{\frac{x^2... ...{x \rightarrow{-2}}{\frac{(x+2)(x-1)}{x+2}}=\lim_{x \rightarrow{-2}}{(x-1)}=-3}$

Luego $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}=f(-2)$ por lo que f es continua en $x=-2$

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

Ejercicios
Determine si la función f definida por $f(x)=\displaystyle\frac{4}{x^2}$ es o no continua en $x=0$
Similarmente para la función h definida por $h(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}$, en los puntos $x=-1$ y $x=3$

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