14 oct 2010

División sintética

División sintética

La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio $P(x)$ de grado$n, \, \, \, n \geq 1$, por un polinomio de la forma $x-\alpha$, con $\alpha \in I \!\!R$, a partir de los coeficiente de $P(x)$ y el cero de $x-\alpha$.

El procedimiento que usaremos para realizar la división sintética de un polinomio $P(x)$, por un polinomio de la forma $x-\alpha$, lo ilustraremos a través de ejemplos.

Ejemplo:

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que:

$P(x) = 4x^3+3x^2-5x+2; \, \, \, \, Q(x) = x-3$

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $P(x)$ por $Q(x)$:

a) Usando el método estudiado anteriormente (División larga)

b) Usando división sintética

Solución:

a)

Por lo que al dividir $P(x)$ por $Q(x)$ se obtiene $4x^2+15x+40$ como cociente y 122 como residuo.


b) Usando división sintética, $P(x)$ se divide por $Q(x)$ de la siguiente manera:

Donde los números 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la división.

Observe que, según la parte (a) de este ejercicio, los números obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior.

Los números representados en la primera fila son los coeficientes de $P(x)$(dividendo) y el cero de $x-3$ (divisor).

Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma:
12 es el producto de 4 y 3
45 es el producto de 15 y 3
120 es el producto de 40 y 3

Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma:
4 es el coeficiente de $x^3$ en $P(x)$
15 es la suma de 3 y 12
40 es la suma de -5 y 45
122 es la suma de 2 y 120

Ejemplo:

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que:$P(x) = -8x^3+x^4-16+2x; \, \, \, Q(x) = x-8$.
Usando división sintética, determine el cociente y el residuo $R(x)$ que se obtiene al dividir $P(x)$ por $Q(x)$.

Solución:

Ordenando $P(x)$ en forma desendiente de acuerdo a su grado, se obtiene:
$P(x) = x^4-8x^3+0x^2+2x-16$, y realizando la división se tiene:

Los números 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo.

Por lo que $C(x) = x^3+0x^2+2x-16$ o sea $C(x) = x^3+2$ y

Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, debem escribirse.

Ejemplo:

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que: $P(x) = x^3+x$ y $Q(x) = x+4$
Usando división sintética determine el cociente $C(x)$ y $Q(x)$.

Solución:

Como $P(x) = x^3+0x^2+x+0$ y el cero $x+4$ es -4 tenemos que:

Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividir $P(x)$ por $Q(x)$ es $x^2-4x+17$y el residuo es -68.

Ejercicio:

Para cada par de polinomios $A(x)$ y $B(x)$ que se definen acontinuación determine por división sintética el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $A(x)$ por $B(x)$.

1.$A(x) = x^5-32; \, \, \, \, B(x) = x-2$
2.$A(x) = -7x^2+8x+5x^3+1; \, \, \, \, B(x) = x-3$
3.$A(x) = x^3+27; \, \, \, \, B(x) = x+3$
4.$A(x) = x^3-2-3x; \, \, \, \, B(x) = x+5$
5.$A(x) = x^4-x; \, \, \, \, B(x) = x+1$
6.$A(x) = 6-5x+4x^2; \, \, \, \, B(x) = x+2$

Ejemplo:

Sea $P(x)$ un polinomio tal que: $P(x) = x^5-3x^4+8x^2-2$; usando división sintética determine $P(-2)$ y

Solución:

Recuerde que $P(\alpha)$ es igual al residuo que se obtiene al dividir $P(x)$ por $x-\alpha$.
Efectuando las divisiones correspondientes se tiene:

Ejercicio:

Sea $P(x)$ un polinomio tal que $P(x) = x^3-2x^2-9x+18$

Usando división sintética determine $P(1), \, \, P(2), \, \, P(-3), \, y \, P(-4)$.

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