Matemáticas Autónoma de Nariño: octubre 2010

Taller Nº 4 División sintética y Factor común.

Buen día estudiantes para la próxima semana y en la primera clase revisare el siguiente taller:

Descargar taller aquí.

Factorización por agrupación

Dado un polinomio en el cual no existe un factor común no constante a todos los sumandos que lo componen, en algunos casos es posible obtener la factorización de dicho polinomio, realizando una "agrupación conveniente" de aquellos sumandos que poseen un factor común.

Ejemplo:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.	$5by \, - \, 5y \, + \, 2ba \, - \, 2a$
b.	$2x^2 \, - \, 3xy \, - \, 3y \, + \, 2x$
c.	$4a^2x \, + \, 3bm \, - \, 4ab \, - \, 3max$
d.	$2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \, n \, - \, 1$

Solución:

a.	$5by \, - \, 5y \, + \, 2ba \, - \, 2a$
	$= (5by \, - \, 5y) \, + \, (2ba \, - \, 2a)$

	$= (b \, - \, 1)(5y \, + \, 2a)$

Por lo que: $5by \, - \, 5y \, + \, 2ba \, - \, 2a = (b \, - \, 1)(5y \, + \, 2a)$

b.	$2x^2 \, - \, 3xy \, - \, 3y \, + \, 2x$
	$= 2x^2 \, - \, 3xy \, + \, (-3y) \, + \, 2x$
	$= (2x^2 \, - \, 3xy) \, + \, (-3y \, + \, 2x)$
	$= x(2x \, - \, 3y) \, + \, (-3y \, + \, 2x)$
	$= (2x \, - \, 3y) \, (x \, + \, 1)$

Por lo que: $2x^2 \, - \, 3xy \, - \, 3y \, + \, 2x = (2x \, - \, 3y) \, (x \, + \, 1)$

c.	$4a^2x \, + \, 3bm \, - \, 4ab \, - \, 3max$

	$= 4a(ax \, - \, b) \, + \, 3m(b \, - \, ax)$
	$= 4a(ax \, - \, b) \, + \, 3m(-1)(ax \, - \, b)$
	$= 4a(ax \, - \, b) \, + \, (-3m)(ax \, - \, b)$

Por lo que: $4a^2x \, + \, 3bm \, - \, 4ab \, - \, 3max = (ax \, - \, b)(4a \, - \, 3m)$

d.	$2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \, n \, - \, 1$
	$= 2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \, n \, - \, 1$
	$= (2am \, - \, 2an \, + \, 2a) \, + \, (-m \, + \, n \, - \, 1)$
	$= 2a(m \, - \, n \, + \, 1) \, + \, (-m \, + \, n \, - \, 1)$
	$= 2a(m \, - \, n \, + \, 1) \, + \, (-1)(m \, - \, n \, + \, 1)$

Por lo que: $2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \, n \, - \, 1 = (m \, - \, n \, + \, 1)(2a \, - \, 1)$

Ejercicio:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.	$ab \, + \, a \, + \, b \, + \, 1$
2.	$6a^2 \, - \, 4ac \, - \, 15ab \, + \, 10bc$
3.	$a^3 \, - \, a^2c \, - \, ba^2 \, + \, abc$
4.	$2c^2 \, + \, 4cd \, - \, 3c \, - \, 6d$
5.	$ax \, - \, bx \, + \, by \, + \, a \, - \, ay \, - \, b$
6.	$cax \, + \, cby \, - \, cbx \, - \, cay$

Factorización por factor común

La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa:

Si $a \in I \!\!R, \, \, \, b \in I \!\!R, \, \, \, c \in I \!\!R,$ entonces $a \, \cdot \, (b \, + \, c) = a \, \cdot \, b \, + \, a\, \cdot \, c$

En forma más general,

Si $a \in I \!\!R, \, \, \, b_1 \in I \!\!R, \, \, \, b_2 \in I \!\!R, \, \, \, b_3 \in I \!\!R, \, \, \cdots , \, b_n \in I \!\!R$ entonces:

$a(b_1+b_2+b_3+ \cdots \, b_n) \, = \, ab_1+ab_2+ab_3+ \cdots \, ab_n$ y en tal caso decimos que

$a(b_1+b_2+b_3+ \cdots \, b_n)$ es una factorización de la expresión1 $ab_1+ab_2+ab_3+ \cdots \, ab_n$ , y que es un factor común de los sumandos de $ab_1, ab_2, \cdots , ab_n$

Ejemplo:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.	$x^2 \, + \, xy$
b.	$6xa \, - \, 12xy$
c.	$a^2 \, + \, a$

Solución:

a.	$x^2 \, + \, xy$
	$= x \, \cdot \, x \, + \, xy$
	$= x(x \, + \, y)$

Por lo que la factorización de $x^2 \, + \, xy$ es

es decir:

$x^2 \, + \, xy \, = \, x(x \, + \, y)$

b.	$6xa \, - \, 12xy$
	$= 6x \, \cdot \, a \, - \, 6 \, x \, 2y$
	$= 6x(a \, - \, 2y)$

Por lo que la factorización de $6xa \, - \, 12xy$ es $6x(a \, - \, 2y);$

es decir

$6xa \, - \, 12xy = 6x(a \, - \, 2y)$

c.	$a^2 \, + \, a$
	$= a^2 \, + \, a$
	$= a(a \, + \, 1)$

Por lo que la factorización de $a^2 \, + \, a$ es

es decir

$a^2 \, + \, a = a(a \, + \, 1)$

Ejemplo:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.	$x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2$
b.	$(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)$
c.	$a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)$
d.	$14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y$

Solución:

a.	$x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2$
	$= x^2y^2yz \, + \, x^2xy^2zz$
	$= x^2y^2z(y \, + \, xz)$

Por lo que: $x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2 \, = \, x^2y^2z(y \, + \, xz)$

b.	$(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)$
	$= 3(a \, + \, 5)\, - \, b(a \, + \, 5)$
	$= (a \, + \, 5)(3 \, - \, b)$

Por lo que: $(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5) \, = \, (a \, + \, 5)(3 \, - \, b)$

c.	$a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)$
	$= a(x \, - \, y) \, + \, (-1)(x \, - \, y)$ (*)

(*) Usando la propiedad distributiva se puede demostrar: $\, \, \, \, \, \, {a\, - \, b \, = \, (-1) \, (b \, - \, a)}$

Por lo que: $a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x) \, = \, (x \, - \, y)(a \, - \, 1)$

d.	$14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y$
	$= 14x^2 \, \cdot \, 1 \, - \, 14x^2 \, \cdot 2x \, + \, 14x^2 \, \cdot \, 4y$
	$= 14x^2 \, (1 \, - \, 2x \, + \, 4y)$