25 ago 2010

Raíz enésima de un número real

Sea 0.$">Se define a la raíz enésima de a y se denota $a^{1 \over n},$ como el número real positivo que cumple la igualda: $b^n \; = \; a.$
Simbólicamente tenemos:
$\begin{displaymath}\displaystyle{ a^{ \displaystyle{ 1 \over n} }} \; = \; b \; \Longleftrightarrow ;\ b^n \; = \; a\end{displaymath}$

Ejemplo
a.) $\;\; \displaystyle{ 8^{1\over3}\;=\;2}$ pues $\displaystyle{ 2^3\;=\;8}$ ; en este caso decimos que es la raíz cúbica de
b.) $\;\; \displaystyle{ 625^{1\over4}\;=\;5}$ pues $\displaystyle{ 5^4\;=\;625} ;$ en este caso decimos que es la raíz cuarta de
c.) $\;\; \displaystyle{ 49^{1\over2}\;=\;7}$ pues $\displaystyle{ 7^2\;=\;49} ;$ en este caso decimos que es la raíz cuadrada de

Notación

Sea $a \in I \!\! R,\;\; a \geq 0,\;\; n \in I \!\! N,\;\; n \geq 1$
La raíz enésima de también se denota $\displaystyle{ \sqrt[n]{a}}$ es decir:
$\displaystyle{ a^{1 \over n} = \sqrt[n]{a}}$
Ejemplo
a.) $\;\;$ La raíz cúbica de se puede denotar como $\displaystyle{ 8^{1\over3}}$ o $\displaystyle{ \sqrt[3]{8}}$ , es decir: $\; \displaystyle{ 8^{1 \over 3} = \sqrt[3]{8}}$
b.) $\;\;$ La raíz cuarta de se puede denotar como $\displaystyle{ 625^{1\over4}}$ o $\displaystyle{ \sqrt[4]{625}}$ , es decir: $\; \displaystyle{ 625^{1 \over 4} = \sqrt[4]{625}}$
Así usando el hecho de que $\displaystyle{ a^{1 \over n} = \sqrt[n]{a}}$ La realció (1) se expresa así:

$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}} \; = \; b \; \Longleftrightarrow ;\ b^n \; = \; a$

Ejemplo
a.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[2]{121} \; = \; 11 }$ pues $\; \displaystyle{ 11^2 = 121}$
b.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{32} \; = \; 2 }$ pues $\; \displaystyle{ 2^5 = 32}$
c.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{343} \; = \; 7 }$ pues $\; \displaystyle{ 7^3 = 343}$
Sea $a \in I \!\! R,\;\; a \geq 0,\;\; n \in I \!\! N,\;\; n \geq 1$

En la expresión $\displaystyle{ \sqrt[n]{a}} : \hspace{1cm} \left\{ \begin{array}{ll} \;\lq\lq n'' ... ... \\ \;\lq\lq \sqrt'' \mbox{ es el s\'{i}mbolo de radical. } \end{array} \right.$
Ejemplo
a.) $\;\;$ En $\displaystyle{ \sqrt[7]{29}, \;7}$ es el índice del radical y es el subradical.
b.) $\;\;$ En $\displaystyle{ \sqrt[5]{64}, \;5}$ es el índice del radical y es el subradical.
c.) $\;\;$ En $\displaystyle{ \sqrt[4]{81}, \;4}$ es el índice del radical y es el subradical.
Sea $a \in I \!\! R,\;\; a \geq 0,\;\; n \in I \!\! N,\;\; n \geq 1$
Entonces se cumple que:
$\begin{displaymath}\displaystyle{ \sqrt [n]{a^n} \; =\; a} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\displaystyle{ \left(\sqrt[n]{a}\right)^n \; =\; a} \end{displaymath}$

Demostración:
demostraremos que $\displaystyle{ \sqrt [n]{a^n} \; =\; a}$
Sea $\displaystyle{ x = a^n }$ , entonces, por definición $\displaystyle{ \sqrt [n]{x} \; =\; a}$
Así:
$\displaystyle{ \sqrt [n]{a^n} \; =\; \sqrt [n]{x} \; =\; a}$

O sea; $\displaystyle{ \sqrt [n]{a^n} \; =\; a}$
demostraremos que $\displaystyle{ \left(\sqrt [n]{a}\right)^n \; =\; a}$
Sea $\displaystyle{ x = \sqrt [n]{a} }$ , entonces, por definición $\displaystyle{ x^n \; =\; a}$
Así:

$\displaystyle{ \left(\sqrt [n]{a}\right)^n \; =\; x^n \; =\; a}$
O sea; $\displaystyle{ \left(\sqrt [n]{a}\right)^n \; =\; a}$
Observación

De los resultados anteriores se obtiene que:
Si $a \in I \!\! R,\;\; a \geq 0,\;\; n \in I \!\! N,\;\; n \geq 1 \;$ entonces: $\displaystyle{ \;\sqrt [n]{a^n} \; =\; \left(\sqrt [n]{a}\right)^n}$

Ejemplo

Escriba en notación decimal la raíz cuarta de

Solución

factoricemos

De aquí se tiene que ,
por lo que: $\displaystyle{ \sqrt[4]{81}\;=\;\sqrt[4]{3^4}\;=\;3}$ ,
o sea; la raíz cuarta de es .
Ejemplo
Escriba en notación decimal la raíz sexta de
Solución

factoricemos

De aquí se tiene que ,
por lo que: $\displaystyle{ \sqrt[6]{64}\;=\;\sqrt[6]{2^6}\;=\;2}$ ,
o sea; la raíz sexta de es .

Ejemplo
Escriba en notación decimal la raíz tercera de

Solución

factoricemos

De aquí se tiene que ,
por lo que: $\displaystyle{ \sqrt[3]{125}\;=\;\sqrt[3]{5^3}\;=\;5}$ ,
o sea; la raíz tercera de es .
Notación:
Sea $a \in I \!\! R,\;\; a \geq 0,\;$ entonces $\; \displaystyle{ \sqrt[2]{a}}$ se acostumbra a escribir como $\displaystyle{ \sqrt{a}}$ , es decir, cuando el índice de un radical es , este no se escribe.

Teorema

Sea $a \in I \!\! R,\;\; a \geq 0,\;\; n \in I \!\! N,\;\; n \geq 1$ entonces la raíz enésima de a es única.
Demostración: Se omite.
Ejercicios

Escriba en notación decimal el número correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

1.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{(-5)^2}}$ 2.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{5^2}}$ 3.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{25}}$

Hasta ésta parte de nuestro trabajo, hemos trabajado con radicales en donde el subradical es un número real positivo, la siguiente difinición extiende el concepto de raíz enénesima, al caso en el que el subradical es un número real negativo, para esto, es necesario imponer algunas condiciones al indice del radical.

Sea $a \in I \!\! R\;\;, a < 0,\;\; n \in I \!\! N,\;\; n \geq 1,\;\; n$ impar.
Se define la raíz enésima de y se denota $\displaystyle{ a^{1 \over n}}$ , como el número real negativo: que cumple la igualdad $b^n \; = \; a$ .
Simbólicamente tenemos:

$\;\; \displaystyle{ a^{1 \over n} \; = \; b \Longleftrightarrow b^n \; = \; a}$ $\;\; \displaystyle{ \sqrt[n]{a} \; = \; b \Longleftrightarrow b^n \; = \; a}$

Ejemplo
a.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{-27} \; = \; -3}$ pues $\displaystyle{ (-3)^3 \; = \; -27}$

b.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{-32} \; = \; -2}$ pues $\displaystyle{ (-2)^5 \; = \; -32}$

c.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[7]{-1} \; = \; -1}$ pues $\displaystyle{ (-1)^7 \; = \; -1}$

Observación importante: Si es un número natural par entonces: La raíz enésima de un número real negativo NO está definida en el conjunto de los números reales.
Simbólicamente tenemos:
Si $n \in I \!\! N,\;\; n \geq 1,\;\; n$ par y si $\;a \in I \!\! R,\;\; a < 0\;$ entonces: $\; \displaystyle{ \sqrt[n]{a} \in \!\!\!\!\! / I\!\!R}$
Ejemplo

$\displaystyle{ \sqrt{-16} \in \!\!\!\!\! / I\!\!R}$
En efecto, supongamos que existe un número real tal que: $\displaystyle{ \sqrt{-16} \; = \; b}$ , entonces debe cumplirse que $-16 \;=\; b^2$ .

De aquí se observa que esta igualdad nunca es cierta pues: es positivo y es negativo.

Por lo tanto: $\displaystyle{ \sqrt{-16} \in \!\!\!\!\! / I\!\!R}$

En forma similar se puede demostrar que:

$\displaystyle{ \sqrt[4]{-8}, \; \sqrt[6]{-11}, \; \sqrt[10]{-135}, \; \sqrt[8]{-1000}, ...,\;}$ no están definidas en el conjunto de los números reales.

Proposición:

Si 1,\;\; n$"> impar, entonces se cumple que: $\displaystyle{ \sqrt[n]{-a}, \; = \; -\sqrt[n]{a}}$
Demostración: Se omite.
Ejemplo

Escriba en notación decimal el número correspondiente a $\displaystyle{ \sqrt[3]{-343}}$

Solución

Por la propiedad anterior tenemos que:
$\displaystyle{ \sqrt[3]{-343} \; = \; -\sqrt[3]{343}}$ y factorizando tenemos:

De aquí se tiene que ,
y por lo tanto: $\displaystyle{ \sqrt[3]{-343}\;=\;-\sqrt[3]{343}\;=\;-\sqrt[3]{7^3}\;=\;-7}$ ,
o sea; $\displaystyle{ \sqrt[3]{-343}\;=\;-7}$ .
Ejemplo
Escriba en notación decimal el número correspondiente a $\displaystyle{ \sqrt[5]{-243}}$

Solución
Por la propiedad anterior tenemos que:
$\displaystyle{ \sqrt[5]{-243} \; = \; -\sqrt[5]{243}}$ y factorizando tenemos:
De aquí se tiene que ,
y por lo tanto: $\displaystyle{ \sqrt[5]{-243}\;=\;-\sqrt[5]{243}\;=\;-\sqrt[5]{3^5}\;=\;-3}$ ,
o sea; $\displaystyle{ \sqrt[5]{-243}\;=\;-3}$ .
Sea 1,\;\; n$"> par, se define la raíz enésima de como el valor absoluto de .
Simbólicamente tenemos: $\displaystyle{ \sqrt[n]{a^n} \;=\; \vert a\vert}$ ; si es par.
Ejemplo
a.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[4]{(-3)^4}} \;$ = $\;\vert-3\vert\;$ = $\;3\;\;\;$ o sea; $\displaystyle{ \sqrt[4]{(-3)^4}} \;$ = $\;3$

b.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[6]{3^6}} \;$ = $\;\vert 3\vert\;$ = $\;3\;\;\;$ o sea; $\displaystyle{ \sqrt[6]{3^6}} \;$ = $\;3$

c.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{(-1)^2}} \;$ = $\;\vert-1\vert\;$ = $\;1\;\;\;$ o sea; $\displaystyle{ \sqrt{(-1)^2}} \;$ = $\;1$
Ejercicios

Escriba en notación decimal el número correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

1.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{-125}}$ 4.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[7]{-128}}$ 7.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{(-9)^2}}$

2.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[4]{625}}$ 5.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[7]{128}}$ 8.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{-27}}$

3.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{(-3)^2}}$ 6.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{(-7)^5}}$ 9.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[6]{(-7)^6}}$

Proposición:

Sean 1\;$">, tales que $\; \displaystyle{ \sqrt[n]{a}} \;$ y $\; \displaystyle{ \sqrt[n]{b}}$ represente números reales entonces se cumple que:

$\displaystyle{ \sqrt[n]{a \over b} \; = \; {\sqrt[n]{a} \over \sqrt[n]{b}}}$
!Cuidado
No siempre se cumple que: $\displaystyle{ \sqrt[n]{a \over b} \; = \; {\sqrt[n]{a} \over \sqrt[n]{b}}}$

Por ejemplo, observe que: $\;\;\;\;\; \displaystyle{ \sqrt{-4 \over -1} \; \neq \; {\sqrt{-4} \over \sqrt{-1}}}$ pues $\displaystyle{ \sqrt{-4 \over -1}}$ si está definida en $I\! \! R$
$\displaystyle{ \sqrt{-4 \over -1}\;\; = \;\; \sqrt{4}\;\; = \;\; 2\;\; \mbox{o sea;}\sqrt{-4 \over -1}\;\; = \;\; 2\;\;}$

pero $\displaystyle{ \sqrt{-4}}$ y $\displaystyle{ \sqrt{-1}} \;\;\;\;$ NO $\;\;\;$ representan números reales.
Ejemplo
El número $\displaystyle{ \sqrt[3]{-32 \over 243}}$ puede ser representado por una fracción canónica, determine dicha fracción (use la propiedad anterior)

Solución

$\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{-32 \over 243}} \;$ = $\;\; \displaystyle{ {\sqrt[5]{-32} \over \sqrt[5]{243}}}$

= $\;\; \displaystyle{ {-\sqrt[5]{32} \over \sqrt[5]{243}}}$

= $\;\; \displaystyle{ {-\sqrt[5]{2^5} \over \sqrt[5]{3^5}}}$

= $\;\; \displaystyle{ -2 \over \;\;3}$
Por lo tanto:

$\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{-32 \over 243}} \;$ = $\;\; \displaystyle{ -2 \over \;\;3}$
Ejercicios

Cada una de las expresiones siguientes representa a un número real, el puede ser representado por una fracción canónica, en cada caso determine la fracción canónica correspondiente (use la propiedad anterior)

1.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{8 \over 125}}$ 3.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{-125 \over \;\;343}}$

2.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{25 \over 81}}$ 4.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{243 \over 3125}}$

Proposición:

Sea 1,\;$"> tales que $\; \displaystyle{ \sqrt[n]{a}}$ y $\displaystyle{ \sqrt[n]{b}\;}$ representan números reales, entonces se cumple que:

$\displaystyle{ \sqrt[n]{a \cdot b} \; = \; \sqrt[n]{a}} \cdot \sqrt[n]{b}$
Cuidado: No siempre se cumple que: $\displaystyle{ \sqrt[n]{a \cdot b} \; = \; \sqrt[n]{a}} \cdot \sqrt[n]{b}$
Ejercicios

Escriba dos ejemplos para los cuales no se cumple la propiedad anterio, en cada caso justifique su respuesta.
Ejemplo
Haciendo uso de la propiedad anterior escriba en notación decimal el número correspondiente a $\displaystyle{ \sqrt{225}}$ .
Solución
Factorizando 225 tenemos:
De aquí se tiene que $225=3^2 \cdot 5^2$ ,
y por lo tanto: $\displaystyle{ \sqrt{225}\;=\;\sqrt{3^2 \cdot 5^2}\;= \;\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2}\;=\;3 \cdot 5\;=\;15}$ ,
o sea; $\displaystyle{ \sqrt{225}\;=\;15}$ .
Ejemplo
Haciendo uso de la propiedad anterior escriba en notación decimal el número correspondiente a $\displaystyle{ \sqrt[3]{-216}}$ .
Solución
$\displaystyle{ \sqrt[3]{-216} \; = \; -\sqrt[3]{216}}$ ; Factorizando 216 tenemos:

De aquí se tiene que $216=2^3 \cdot 3^3$ ,
y por lo tanto: $\displaystyle{ \sqrt[3]{-216}\;=\;-\sqrt[3]{216}\;=\;-\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} \;=\; -\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3}\;=\;-2 \cdot 3\;=\;-6}$ ,
o sea; $\displaystyle{ \sqrt[3]{-216}\;=\;-\sqrt[3]{216}\;=\;-6}$ .
Ejercicios

Haciendo uso de la propiedad anterior escriba la notación decimal del número correspondiente a cada una de la siguientes expresiones:

1.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{441}} \hspace{2cm}$ 3.) $\displaystyle{ \sqrt[3]{-2744}}$

2.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{1225}} \hspace{2cm}$ 4.) $\displaystyle{ \sqrt{1764}}$
A continuación nuestro objetivo es definir lo que vamos a entender por potencias en el que el exponente es un número racional.
Sean 1,\;\;n > 1,\;$"> tales que $\; \displaystyle{ \sqrt[m]{a}} \;$ representa un número real, entonces se cumple que:

$\begin{displaymath}\displaystyle{ \sqrt[m]{a^n}\;=\;a^{n \over m} } \end{displaymath}$
y
$\begin{displaymath}\displaystyle{ \left(\sqrt[m]{a}\right)^n\;=\;a^{n \over m}} \end{displaymath}$

Así por ejemplo:

a.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{5^2}}$ = $\displaystyle{ 5^{2 \over 3}}$ c.) $\;\; \displaystyle{ \left(\sqrt[6]{3}\right)^7}$ = $\displaystyle{ 3^{7 \over 6}}$

b.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{4^3}}$ = $\displaystyle{ 4^{3 \over 2}}$ d.) $\;\; \displaystyle{ \left(\sqrt[5]{2}\right)^3}$ = $\displaystyle{ 2^{3 \over 5}}$
Propiedades

Las propiedades enunciadas anteriormente para potencias en los cuales el exponente es un número entero, también son válidas para potencias en las cuales el exponente es un número racional; a saber:

1.) $\;\; \displaystyle{ a^{m \over n} \cdot a^{p \over q}}$ = $\displaystyle{ a^{{m \over n}+{p \over q}}}$ 4.) $\;\; \displaystyle{ \left(a^{m \over n}\right)^{p \over q}}$ = $\displaystyle{ a^{{m \over n} \cdot {p \over q}}}$

2.) $\;\; \displaystyle{ a^{m \over n} \over a^{p \over q}}$ = $\displaystyle{ a^{{m \over n}-{p \over q}}} ,\;a \neq 0$ 5.) $\;\; \displaystyle{ (a \cdot b)^{m \over n}}$ = $\displaystyle{ a^{m \over n} \cdot b^{m \over n}}$

3.) $\;\; \displaystyle{ a^{-m \over n}}$ = $\displaystyle{ 1 \over a^{m \over n}} ,\;a \neq 0$ 6.) $\;\; \displaystyle{ \left({a \over b}\right)^{m \over n}}$ = $\displaystyle{ a^{m \over n} \over b^{m \over n}} ,\;b \neq 0$
Ejemplo
Usando las propiedades de los radicales y las potencias con exponente racional, verifique cada una de las siguientes igualdades.

a.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{1296}}$ = b.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{2^{10} \over 3^{15}}}$ = $\displaystyle{ 4 \over 27}$
Solución

a.) $\displaystyle{ \sqrt{1296}}$

De aquí se tiene que $1296=2^4 \cdot 3^4$ ,
por lo que: $\displaystyle{ \sqrt{1296}\;=\;\sqrt{2^4 \cdot 3^4}\;=\; \sqrt{2^4} \cdot \sq... ...;=\;2^{4 \over 2} \cdot 3^{4 \over 2}\;=\;2^2 \cdot 3^2\;=\;4 \cdot 9\;=\;36}$ ,
o sea; $\displaystyle{ \sqrt{1296}\;=\;36}$ .

b.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{2^{10} \over 3^{15}}} \;\;$ = $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{2^{10}} \over \sqrt[5]{3^{15}}}$

= $\;\; \displaystyle{ 2^{10 \over 5} \over 3^{15 \over 5}}$

= $\;\; \displaystyle{ 2^2 \over 3^3}$

= $\;\; \displaystyle{ 4 \over 27}$
o sea;
$\displaystyle{ \sqrt[5]{2^{10} \over 3^{15}}}$ = $\displaystyle{ 4 \over 27}$
Ejercicios

Usando las propiedades de los radicales y las potencias con exponentes racionales, verifique cada una de las siguientes igualdades.

1.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^9}}$ = 3.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{7^{10} \cdot 11^5 \over 3^{15}}}$ = $\displaystyle{ 539 \over 27}$

2.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{2^9 \cdot 3^3 \cdot 5^3}}$ = 4.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[9]{3^{18} \cdot 5^9 \over 4^9 \cdot 2^27}}$ = $\displaystyle{ 45 \over 32}$

Proposición:

Sean 1,\;$"> tales que $\; \displaystyle{ \sqrt[n]{a}} \;$ representa un número real, entonces:

$c \cdot \sqrt[n]{a}+d \cdot \sqrt[a]{a}\;=\;(c+d)\sqrt[n]{a}$
Esta propiedad es una consecuencia de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición en el conjunto de los números reales.
Ejemplo

Usando la propiedad anterior realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

a.) $\;\; \displaystyle{ -\sqrt{7}+6\sqrt{7}}$ b.) $\;\; \displaystyle{ 2\sqrt[3]{6}-4\sqrt[4]{6}+5\sqrt[3]{-6}+\sqrt[4]{6}}$

Solución

a.) $\;\; \displaystyle{ -\sqrt{7}+6\sqrt{7}} \;\;$ = $\;\; \displaystyle{ (-1)\sqrt{7}+6\sqrt{7}}$

= $\;\; \displaystyle{ (-1+6)\sqrt{7}}$

= $\;\; \displaystyle{ 5\sqrt{7}}$
o sea;
$\;\; \displaystyle{ -\sqrt{7}+6\sqrt{7}} \;\;$ = $\;\; \displaystyle{ 5\sqrt{7}}$

b.) $2 \sqrt[3] {6} - 4 \sqrt[4]{6}+5 \sqrt[3]{-6}+\sqrt[4]{6}$

$= (2 \sqrt[3]{6} \, \, \, \, + \, \, \, \, 5 \sqrt[3]{-6}) \, \, \, \, + \, \, \, \,(-4 \sqrt[4]{6} \, \, \, \, + \, \, \, \, \sqrt[4]{6})$
$= (2\sqrt[3]{6} \, -5 \sqrt[3]{6}) \, \, \, \, + \, \, \, \,(-4 \sqrt[4]{6} \, \, \, \, + \, \, \, \, \sqrt[4]{6})$
$= (2-5) \sqrt[3]{6}\, \, \, \, \, + \, \, \, \,(-4+1)\sqrt[4]{6}$
$= -3 \sqrt[3]{6} \, \, \, \, + \, \, \, \,(-3) \sqrt[4]{6}$
$= -3 \sqrt[3]{6}-3 \sqrt[4]{6}$
o sea

$2 \sqrt[3]{6}-4 \sqrt[4]{6} + 5 \sqrt[3]{-6} + \sqrt[4]{6} = -3 \sqrt[3]{6}-3 \sqrt[4]{6}$

Teorema:

Sean 1 \, \, $"> tales que $\, \, \sqrt[n]{a} \, \,$ representa un número real, si existe 0$"> , tal que $\, \, a = b^n \cdot \, \, c \, \,$ entonces: $\, \, \sqrt[n]{a} = b \cdot \sqrt[n]{c}$ . O sea como: $\, a \, = \, b^n \, \cdot \, c$ tenemos que:
$\displaystyle{\sqrt[n]{b^n \cdot \, c} = b \cdot \sqrt[n]{c}}$
y en tal caso decimos que el factor fue extraído del radical.

Demostración

como $a \, = \, b^n \cdot \, \, c \, \,$ entonces

$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}}$ = $\displaystyle{ \sqrt[n]{b^n \cdot \, \, c}}$ , por teorema

= $\sqrt[n]{b^n} \, \cdot \, \sqrt[n]{c}$ , por teorema

= $b \, \cdot \, \sqrt[n]{c}$
Ejemplo

a.)
$\sqrt{5^2 \, \, \, 3} = \sqrt{5^2} \, \cdot \, \sqrt{3} = 5 \, \sqrt{3}$
b.)
$\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^5} = \sqrt[3]{2^3 \, \cdot \, 2^2} = \sqrt[3]{2^3} \, \cdot \, \sqrt[3]{2^2} = 2 \sqrt[3]{4}$
c.)
$\sqrt[5]{-64} = - \sqrt[5]{64} = - \sqrt[5]{2^6} = - \sqrt[5]{2^5 \, \cdot \, 2} = -( \sqrt[5]{2^5} \, \cdot \, \sqrt[5]{2}) = -2 \, \sqrt[5]{2}$
d.)
$\sqrt{360} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{2^2 \cdot... ...\cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5 \cdot 2} = 2 \cdot 3 \sqrt{10} = 6 \, \sqrt{10}$

Definición:
Se dice que el radical $\sqrt[n]{a}$ está expresado de su forma más simple si no es posible extraer del radical algún factor primo de .
Ejemplo
Exprese en su forma más simple cada uno de los siguientes radicales:

a.) $\sqrt{72}$
b.) $\sqrt[3]{135}$

c.) $\sqrt[5]{-96}$

Solución:
a.) $\sqrt{72}$
como $72 = 2^3 \, \cdot \cdot 3^2$
entonces:
$\sqrt{72}$ = $\sqrt{2^3 \, \cdot \, 3^2}$

= $\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}$

= $2 \, \sqrt{3^2 \, \cdot \, 2}$

= $2 \, \cdot \, 3 \, \sqrt{2}$

= $6 \, \sqrt{2}$

Por lo tanto $\sqrt{72} = 6 \, \sqrt{2}$

b.) $\sqrt[3]{135}$

como $135 = 3^3 \, \cdot \, 5$

entonces:

$\sqrt[3]{135}$ = $\sqrt[3]{3^3 \, \cdot \, 5}$

= $3 \, \cdot \, \sqrt[3]{5}$

Por lo tanto

$\sqrt[3]{135} = 3 \, \, \cdot \, \, \sqrt[3]{5}$

c.) $\sqrt[5]{-96}$

como $96 = 2^5 \, \cdot \, 3$

entonces:

$\sqrt[5]{-96}$ = $- \sqrt[5]{96}$

= $- \sqrt[5]{2^5 \, \cdot \, 3}$

= $-2 \, \sqrt[5]{3}$

Por lo tanto:

$\sqrt[5]{-96} = -2 \, \sqrt[5]{3}$
Ejemplo
Exprese los radicales involucrados en cada una de las siguientes expresiones en su forma más simple y realice las operaciones indicadas:

a.) $\sqrt{45} \, \, + \, \, \sqrt{80}$

c.) $\sqrt{18} \, \, - \, \, \sqrt{50}$
b.) $\sqrt[3]{54} \, \, - \, \, \sqrt[3]{16} \, \, + \, \, \sqrt[3]{128}$

d.) ${1 \over {4}} \, \cdot \, \sqrt[3]{2^5 \, \, \cdot \, \, 3^4} \, \, + \, \, 2 \, \sqrt[3]{2^8 \, \cdot \, 3} \, \, - \, \, \sqrt[3]{2^6 \, \cdot \, 3^4}$

Solución:
a.)
$\sqrt{45} \, \, + \, \, \sqrt{80}$

Factorizando 45 y 80 tenemos que:

$45 = 3^2 \, \cdot \, \, 5 \, \, \, \, \,$ y $\, \, \, \, \, 80 = 2^4 \, \cdot \, \,5$

Así:
$\sqrt{45} \, \, + \, \, \sqrt{80} \, \,$ = $\, \, \sqrt{3^2 \, \cdot \, 5} \, \, + \, \, \sqrt{2^4 \, \, \cdot \, \, 5}$

= $\sqrt{3^2} \, \, \cdot \, \, \sqrt{5}\, \, + \, \, \sqrt{2^4} \, \, \cdot \, \, \sqrt{5}$

= $3 \, \cdot \, \sqrt{5} \, \, + \, \, {2^{4 \over{2}} \, \cdot \, \sqrt{5}}$

= $3 \, \cdot \, \sqrt{5} \, + \, 2^2 \, \cdot \, \sqrt{5}$

= $3 \, \sqrt{5} \, \, + \, \,4 \, \sqrt{5}$

= $(3 \, + \, 4) \, \, \sqrt{5}$

= $7 \, \, \sqrt{5}$

o sea: $\sqrt{45} \, \, + \, \, \sqrt{80} \, \, = \, \, 7 \, \sqrt{5}$
b.)
$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{128}$

Factotizando 54, 16 y 128 tenemos que:

$54 = 3^3 \, \cdot \, 2 \, \, \, \, ; \, \, \, \, 16 = 2^4 \, \, \, \,$ y $\, \, \, \, 128 = 2^7$

Así
$\sqrt[3]{54} \, \, - \, \, \sqrt[3]{16} \, \, + \, \, \sqrt[3]{128} \, \,$ = $\, \, \sqrt[3]{3^3 \, \cdot \, 2} \, \, - \, \, \sqrt[3]{2^3 \, \cdot \, 2} \, \, + \, \, \sqrt[3]{2^6 \, \cdot \, 2}$

= $\sqrt[3]{3^3} \, \cdot \, \sqrt[3]{2} \, - \, \sqrt[3]{2^3} \, \cdot \, \sqrt[3]{2} \, + \, \sqrt[3]{2^6} \, \cdot \, \sqrt[3]{2}$

= $3 \, \cdot \, \sqrt[3]{2} - 2 \, \cdot \, \sqrt[3]{2} \, + \, {2^{6 \over 3}} \, \cdot \, \sqrt[3]{2}$

= $3 \, \cdot \, \sqrt[3]{2} \, - \, 2 \, \cdot \, \sqrt[3]{2} \, + \, 2^2 \, \cdot \, \sqrt[3]{2}$

= $3 \, \cdot \, \sqrt[3]{2} \, - \, 2 \, \cdot \, \sqrt[3]{2} \, + \, 4 \, \cdot \, \sqrt[3]{2}$

= $(3 - 2 + 4) \, \, \sqrt[3]{2}$

= $5 \, \, \cdot \, \, \sqrt[3]{2}$

o sea: $\sqrt[3]{54} \, \, - \, \, \sqrt[3]{16} \, \, + \, \, \sqrt[3]{128} \, \, = \, \, 5 \, \cdot \, \sqrt[3]{2}$
c.)
$\sqrt{18} \, \, - \, \, \sqrt{50}$

Factorizando 18 y 20 tenemos que:

$18 = 3^2 \, \cdot \, 2 \, \, \, \,$ y $\, \, \, \, 50 = 5^2 \, \cdot \, 2$

Así:
$\sqrt{18} \, \, - \, \, \sqrt{50} \, \,$ = $\, \, \sqrt{3^2 \, \, \cdot \, \, 2} \, \, - \, \, \sqrt{5^2 \, \, \cdot \, \, 2}$

= $\sqrt{3^2} \, \cdot \, \sqrt{2} \, - \, \sqrt{5^2} \, \cdot \, \sqrt{2}$

= $3 \, \cdot \, \sqrt{2} \, \, - \, \, 5 \, \cdot \, \sqrt{2}$

= $-2 \, \sqrt{2}$

o sea: $\sqrt{18} \, \, - \, \, \sqrt{50} \, \, = \, \, -2\, \sqrt{2}$

d.)
${1 \over 4} \cdot \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^4} + 2 \sqrt[3]{2^8 \cdot 3} - \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^4}$
= ${1 \over 4} \, \cdot \, \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 3} \, \, + \, \, \sqrt[3]{2^6 \cdot 2^2 \cdot 3} \, \, - \, \, \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^3 \cdot 3}$

= ${1 \over 4} \, \cdot \, \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^2 \cdot 3} \, \, + \, \, 2 \sqrt[3]{2^6 \cdot 2^2 \cdot 3} \, \, - \, \, \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^3 \cdot 3}$

= ${1 \over 4} \cdot \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2^2 \cdot ... ...qrt[3]{2^2 \cdot 3} \, - \, \sqrt[3]{2^6} \cdot \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3}$

= ${1 \over 4} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 3} \, + \, 2 \cdot 2^{6 \over 3} \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 3} \, - \, 2^{6 \over 3} \cdot 3 \sqrt[3]{3}$

= ${6 \over 4} \, \cdot \, \sqrt[3]{12} \, \, + \, \, 2 \, \cdot \, 2^2 \, \cdot \, \sqrt[3]{12} \, \, - \, \, 2^2 \, \cdot \, 3 \, \sqrt[3]{3}$

= ${3 \over 2} \, \cdot \, \sqrt[3]{12} \, \, + \, \, 8 \sqrt[3]{12} \, \, - \, \, 12 \sqrt[3]{3}$

= $({3 \over 2} \, + \, 8) \, \sqrt[3]{12} \, \, - \, \, 12 \sqrt[3]{3}$

= ${19 \over 2} \, \sqrt[3]{12} \, \, - \, \, 12 \sqrt[3]{3}$

o sea: ${1 \over 4} \, \cdot \, \sqrt[3]{2^5 \, \cdot \, 3^4} \, \, + \, \, 2 \, \cdot ... ... 3^4} \, = \, {19 \over 2} \, \cdot \, \sqrt[3]{12} \, \, - \, \,12 \sqrt[3]{3}$
Ejercicios
Exprese los radicales involucrados en cada una de las siguientes expresiones en su forma más simple, y realice las operaciones indicadas:

1. $\, \, \, \, \, \displaystyle{\sqrt{108} \, \, - \, \, \sqrt{75}}$ 4. $\, \, \, \, \, \displaystyle{{3 \over 2} \, \sqrt[3]{24} \, \, + \, \, {1 \over 5} \, \sqrt[3]{375}\, \, + \, \, {1 \over 7} \, \sqrt[3]{1029}}$
2. $\, \, \, \, \, \displaystyle{{1 \over 2} \, \sqrt[3]{16} \, \, + \, \, \sqrt[3]{54}}$ 5. $\, \, \, \, \, \displaystyle{3 \, \sqrt[3]{40} \, \, + \, \, \sqrt[3]{135} \, \, - \, \, \sqrt[3]{625}}$
3. $\, \, \, \, \, \displaystyle{5 \, \sqrt[3]{81} \, \, - \, \, \sqrt[3]{56} \, \, + \, \, \sqrt[3]{192}}$ 6. $\, \, \, \, \, \displaystyle{{1 \over 2} \, \sqrt[3]{16} \, \, + \, \, {2 \over 3} \, \sqrt[3]{54} \, \, - \, \, {2 \over 5} \sqrt[3]{250}}$
Productos de radicales de diferente índice
Considere los ejemplos (a) y (b) siguientes:
a.) Por notación de página (88), $\, \, \sqrt[3]{5} = 5^{1 \over 3}$
Pero además, por ampliación de fracciones se tiene que:

${1 \over 3} = {{1 \, \cdot \, 2} \over {3 \, \cdot \, 2}}$ ; de aquí que

$\displaystyle {\sqrt[3]{5} = 5^{1 \over 3} = 5^{{1 \, \cdot \, 2} \over {3 \, ... ...} = \sqrt[3 \, \cdot \, 2]{5^{1 \, \cdot \, 2}} = \sqrt[3 \, \cdot \, 2]{5^2}}$ ; o sea que $\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2}$
b.) Por notación de página (88), $\sqrt[4]{7} = 7^{1 \over 4}$

Pero además, por ampliación de fracciones se tiene que:

${1 \over 4} = {{1 \, \cdot \, 5} \over {4 \, \cdot \, 5}}$ ; de aquí que

$\sqrt[4]{7} = 7^{1 \over 4} = 7^{{5}\over{4 \cdot 5}} = \sqrt[4 \cdot 5]{7^5}$ , o sea que $\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 5]{7^5}$
Los ejemplos (a) y (b) anteriores son casos particulares de la siguiente propiedad:

Teorema

Si 1, \, \, k > 1;$"> tales que $\sqrt[n]{a}$ representa un número real entonces:
$\displaystyle {\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}}$
Demostración

$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}}$ = $\displaystyle{ a^{1 \over n}}$ , por notación de página (88)

= $\displaystyle{a^{{k} \over {nk}}}$ , pues ${1 \over n} = {k \over nk}$

= $\displaystyle{\sqrt[n \cdot k]{a^k}}$ , por notación de página (88)

Por lo tanto: $\, \, \, \sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$

Ejemplo
Escriba el número representado por $\sqrt[7]{2}$ , por medio de un radical de índice 21.

Solución:

Por el teorema anterior:

$\sqrt[7]{2} = \sqrt[7 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[21]{2^3} = \sqrt[21]{8} \, \, \, \, \,$ o sea que $\, \, \, \, \, \sqrt[7]{2} = \sqrt[21]{8}$

Ejemplo
Escriba el número representado por $\sqrt[6]{10}$ , por medio de un radical de índice 24.

Solución

Por el teorema anterior:

$\sqrt[6]{10} = \sqrt[6 \cdot 4]{10^4} = \sqrt[24]{10^4}$

o sea que: $\, \, \, \sqrt[6]{10} = \sqrt[24]{10^4}$

Ejercicio
1. Escriba el número representado por $\sqrt{7}$ , por medio de un radical de índice 10.

2. Escriba el número representado por $\sqrt[11]{2}$ , por medio de un radical de índice 25.

3. Escriba el número representado por $\sqrt[5]{3}$ , por medio de un radical de índice 25.
Considere los dos ejemplos siguientes:

Ejemplo

Escriba los números representados por $\sqrt[4]{2}$ y $\sqrt[6]{5}$ por medio de un radical cuyo índice sea el mínimo múltiplo común de 4 y 6.
Solución:

Como m.m.c (4,6)=12 entonces:

$i. \, \, \, \sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[12]{8} \hspace{2.5cm} ii. \sqrt[6]{5} = \sqrt[6 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[12]{25}$

o sea que: $\, \, \sqrt[4]{2} = \sqrt[12]{8} \, \,$ y $\, \, \sqrt[6]{5} = \sqrt[12]{25}$

Ejemplo
Escriba los números representados por $\sqrt{3}, \sqrt[5]{4}$ y $\sqrt[6]{5}$

Por medio de radicales cuyo índice sea el mínimo común de 2, 5 y 6.

Solución:

Como m.m.c (2, 5, 6) = 30 entonces:

i. $\sqrt{3}$ = $\sqrt[2 \cdot 15]{3^{15}}$ = $\sqrt[30]{3^{15}}$ ; o sea $\sqrt{3}$ = $\sqrt[30]{3^{15}}$

ii. $\sqrt[5]{4}$ = $\sqrt[5 \cdot 6]{4^6}$ = $\sqrt[30]{4^6}$ ; o sea $\sqrt[5]{4}$ = $\sqrt[30]{4^6}$

iii. $\sqrt[6]{5}$ = $\sqrt[6 \cdot 5]{5^5}$ = $\sqrt[30]{5^5}$ ; osea $\sqrt[6]{5}$ = $\sqrt[30]{5^5}$

Ejercicio
a.) Escriba los números representados por $\, \, \sqrt[14]{5}, \, \, \, \sqrt[21]{2} \, \,$ por medio de radicales cuyo índice sea m.m.c. (14, 21)

b.)Escriba los números representados por $\sqrt[24]{7}, \sqrt[9]{3}$ y $\sqrt[18]{2}$ por medio de radicales cuyo índice sea m.m.c. (24, 9, 18)

c.)Escriba los números representados por $\sqrt[7]{5}, \sqrt[3]{2}$ y $\sqrt{3}$ por medio de radicales cuyo índice sea m.m.c. (7, 3, 2)

Teorema

Sean 1$"> , sea m.m.c. (m,n)=k y sean $a \, \in I \! \! R, \, \, b \, \in I \! \! R$ , tales que $\sqrt[m]{a}$ y $\sqrt[n]{b}$ representan números reales, entonces:

$\sqrt[m]{a} \, \cdot \, \sqrt[n]{b} = \sqrt[k]{a^p \, \cdot \, b^r}$ ; donde $k \, = \, m \, \cdot \, r, \, \, k \, = \, r \, \cdot \, n$

Si m.m.c. entonces existen $p, \, \, \, r$ con $p \in I\!\!N \, \,$ y $\, \, r \in I\!\!N \, \,$ tales que:

$k = m \, \cdot \, p \, \, \,$ y $\, \, \, k = n \, \cdot \, r \,$ , así pues
$\sqrt[m]{a} \, \cdot \, \sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[m \cdot p]{a^p} \,\cdot \, \sqrt[m \cdot r]{b^r}$ , pero $k = m \, \cdot \, p$ y $k = r \, \cdot \, n$

= $\sqrt[k]{a^p} \, \cdot \, \sqrt[k]{b^r}$

= $\sqrt[k]{a^p \, \cdot \, b^r}$

osea que: $\, \, \sqrt[m]{a} \, \cdot \, \sqrt[n]{b} \, = \, \sqrt[k]{a^p \, \cdot \, b^r}$
Ejemplo
Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y exprese el resultado en forma más simple:
$a.) \, \, \, \, \, \sqrt{5} \, \cdot \, \sqrt[3]{2} \hspace{4cm} b.) \, \, \, \, \, \sqrt[4]{8} \, \cdot \, \sqrt[6]{32}$
Solución:

a.) Como m.m.c. $(2,3) = 6\;$ entonces:

$\sqrt{5}$ = $\sqrt[3]{2}$

= $\sqrt[6]{5^3} \, \cdot \, \sqrt[6]{2^2}$

= $\sqrt[6]{5^3 \, \cdot \, 2^2}$

= $\sqrt[6]{125 \, \cdot \, 4}$

= $\sqrt[6]{500}$

o sea: $\sqrt{5} \, \cdot \, \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{500}$
b.) Como m.m.c. entonces:
$\sqrt[4]{8} \, \cdot \, \sqrt[6]{32}$ = $\sqrt[12]{8^3} \, \cdot \,\sqrt[12]{32^2}$

= $\sqrt[12]{(8)^3 \, \, \cdot \, \, (32)^2}$

= $\sqrt[12]{(2^3)^3 \, \, \cdot \, \, (2^5)^2}$

= $\sqrt[12]{2^9 \, \, \cdot \, \, 2^10}$

= $\sqrt[12]{2^19}$

= $\sqrt[12]{2^12 \, \, \cdot \, \, 2^7}$

= $2 \, \cdot \, \sqrt[12]{2^7}$

= $2 \, \cdot \, \sqrt[12]{128}$

o sea : $\sqrt[4]{8} \, \cdot \, \sqrt[6]{32} = 2 \, \cdot \, \sqrt[12]{128}$
Ejercicio

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y exprese el resultado en su forma más simple:

$1. \, \, \, \sqrt[5]{4} \, \cdot \, \sqrt[3]{12}$ $4. \, \, \, \sqrt[6]{3} \, \cdot \, \sqrt[3]{-5}$
2. $\, \, \, \sqrt[7]{9} \, \cdot \, \sqrt[3]{36}$ 5. $\, \, \, \sqrt[12]{13} \, \cdot \, \sqrt[4]{2}$
3. $\sqrt[-3]{6} \, \cdot \, \sqrt[3]{36}$ 6. $\, \, \, \sqrt[7]{6} \, \cdot \, \sqrt[5]{9}$

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