Matemáticas Autónoma de Nariño: Simplificación de fracciones con monomios.

Una fracción con monomio (o cociente de monomio) está simplificada si se cumplen las tres condiciones siguientes:

i.: Las fracciones formadas por los coeficientes de los monomios involucrados está expresada en su forma más simple.
ii.: Las variables que aparecen en el numerador son diferentes de las que aparecen en el denominador y no se repiten.
iii.: Las potencias de las variables involucradas tienen exponente positivo.

Ejemplo:

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a.) $\displaystyle{72 \, x^4y^3}\over{48 \, x^2y^5}$

b.) $\displaystyle{{\sqrt[3]{3} \, x^4y^5z}\over{\sqrt[3]{81} \, x^4y^7z}}$

Solución (*)

a.) $\displaystyle{\, {{72 \, x^4y^3}\over{48 \, x^2y^5}}}$	=	$\displaystyle{{{2^3 \, \cdot \, 3 \, \cdot \, 3x^4 \, y^3}\over{2^3 \, \cdot \, 3 \, \cdot \, 2x^2y^5}}}$

	=	$\displaystyle{{{3x^4y^3}\over{2x^2y^5}}}$

	=	$\displaystyle{{{3x^4 \, \cdot \, x^{-2}}\over{2y^5 \, \cdot \, y^{-3}}}}$

	=	$\displaystyle{{{3 \, x^2}\over{2 \, y^2}}}$

b.) $\displaystyle{{{\sqrt[3]{3} \, x^4y^5z}\over{\sqrt[3]{81} \, x^4y^7z}}}$	=	$\displaystyle{{{\sqrt[3]{3} \, x^4y^5z}\over{\sqrt[3]{3^4} \, x^4y^7z}}}$

	=	$\displaystyle{{{\sqrt[3]{3} \, x^4y^5z}\over{3 \sqrt[3]{3} \, x^4y^7z}}}$

	=	$\displaystyle{{{x^4y^5z}\over{3 \, x^4y^7z}}}$

	=	$\displaystyle{{{x^4 \, x^{-4} \, z \, z^{-1}}\over{3 \, y^7 \, y^{-5}}}}$

	=	$\displaystyle{{{x^0 \, \, z^0}\over{3y^2}}}$

	=	$\displaystyle{{{1}\over{3y^2}}}$

(*) En la solución de estos ejemplos haremos uso del hecho de que:

i. $\displaystyle {{{x^{-n} \, \, \cdot \, \, c}\over{d}} = {{{c}\over {x^n \, \, \cdot \, \, d}}}}$ ii. $\displaystyle {{x^n \, \, \cdot \, \, c } \over{d}} = {{c}\over{x^{-n}} \, \, \cdot \, \,d }$

Las cuales se pueden demostrar usando que $\, \, \, \, \displaystyle{{x^{-n}} = {{1}\over{x^n}}}$

Ejercicio:

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

1. $\, \, \, \displaystyle{{12 \, a^2b^3}\over{60 \, a^3b^5x^6}}$

2. $\, \, \, \displaystyle{{\sqrt[3]{135} \, ax^3}\over{\sqrt[3]{40} \, ax^3}}$

3. $\, \, \, \displaystyle{{63 \, a^4b^{10}c^{12}}\over{21 \, \, a^8c^2}}$

A continuación nuestro objetivo es realizar operaciones con expresiones algebraicas en general, para esto se siguen procedimientos similares a los usados al efectuar operaciones con monomios.

Ejemplo:

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

a.) $(-26 \, a \, x^{1\over2}y) \, ({1\over2} \, x^{-2} \, y^{1\over3} \, z)$

b.) $\sqrt{8 \, v s^2} \, \, - \, \, \sqrt{27 \, v^2 \, s} \, \, + \, \, \sqrt{2 \, v \, s^2}$

c.) $(\sqrt[3]{2} \, \, x^{1\over2} \, \, y^{-2\over4}) \, \, ({-1\over4} \, x^{-1} \, y)$

d.) $\sqrt[4]{5 \, \, m^{-2\over3} \, \, n^4 \, q^6} \, \, \cdot \, \, \sqrt[3]{2 \, m^{1\over2} \, \, n^3 \, q^5 }$

Solución:

a.)	$\displaystyle{(-26 \, a \, x^{1\over2}y) \, ({1\over2} \, x^{-2} \,y^{1\over3} \, z)}$
	$\displaystyle{= {{(-26) \, {\left({{1}\over{2}}\right)}} \, {(a \, {x^{1\over2}} \, y)} \, {(x^{-2} \, {y^{1\over3}} \, z)}}}$
	$\displaystyle{= {-13 \, a \, x^{-3\over2} \, y^{4\over3} \, z}}$
	$\displaystyle{= {{-13 \, a \, y^{4\over3} \, z}\over{x^{3\over2}}}}$
	o sea: $\displaystyle{{(-26 \, a \, x^{1\over2}y) \, ({1\over2} \, x^{-2} \, y^{1\over3} \, z)} = {{-13 \, a \, y^{4\over3} \, z}\over{x^{3\over2}}}}$

b.)	$\displaystyle{(\sqrt[3]{2} \, x^{1\over2} \, y^{-2\over3})^3 \, \, ({-1\over4} \, x^{-1} y)}$
	$\displaystyle{= {(2 \, x^{3\over2} \, y^{-2}) \, \, ({-1\over4} \, x^{-1} y)}}$
	$\displaystyle{= {{(2)} \, {\left(-1\over4 \right)} \, {(x^{3\over2} \, \, y^{-2})} \, {(x^{-1} \, y)}}}$
	$= \displaystyle{{{-1\over2} \, \, x^{1\over2} \, \, y^{-1}}}$
	$\displaystyle{= {{-x^{1\over2}}\over{2 \, \, y}}}$
	o sea: $\displaystyle{(\sqrt[3]{2} \, x^{1\over2} \, y^{-2\over3})^3 \, \, ({-1\over4} \, x^{-1} y) = {{-x^{1\over2}}\over{2 \, \, y}}}$

c.)	$\displaystyle{\sqrt{8 \, v s^2} \, \, - \, \, \sqrt{27 \, v^2 \, s} \, \, + \, \, \sqrt{2 \, v \, s^2}}$
	$\displaystyle{= {\sqrt{2^3 \, v s^2} \, \, - \, \, \sqrt{3^3 \, v^2 \, s} \, \, + \, \, \sqrt{2 \, v \, s^2}}}$
	$\displaystyle{= {\sqrt{2^2 \, \cdot \, 2 \, v s^2} \, \, - \, \, \sqrt{3^2 \, \cdot \, 3 \, v^2 \, s} \, \, + \, \, \sqrt{2 \, v \, s^2}}}$
	$\displaystyle{= {\vert 2\vert \, \, \vert s\vert \, \, \sqrt{2v} \, - \, \vert 3\vert \, \, \vert v\vert \, \, \sqrt{3s} \, + \, \vert s\vert \, \, \sqrt{2v}}}$
	$\displaystyle{= {2 \, \, \vert s\vert \, \, \sqrt{2v} \, - \, 3 \, \, \vert v\vert \, \, \sqrt{3s} \, + \, \vert s\vert \, \, \sqrt{2v}}}$
	$\displaystyle{= {3 \, \, \vert s\vert \, \, \sqrt{2v} \, - \, \vert 3\vert \, \, \vert v\vert \, \, \sqrt{3s}}}$
	o sea: $\displaystyle{\sqrt{8 \, v s^2} \, \, - \, \, \sqrt{27 \, v^2 \, s} \, \, + \, ... ...vert \, \, \sqrt{2v} \, - \, \vert 3\vert \, \, \vert v\vert \, \, \sqrt{3s}}}}$

En la solución de estos ejemplos se usó el hecho de que:

(i) $\sqrt[n]{a^n} \, = \, \vert a\vert \, \, \,$ ; si es par y

(ii) $\sqrt[n]{a^n} \, = \, a \, \, \,$ ; si es impar

d.)	${\sqrt[4]{5 \, m^{-2\over3} \, n^4 \, q^6}} \, \, \cdot \, \, \sqrt[3]{2 \, m^{1\over2} \, n^3 \, q^5}$
	${= \sqrt[4]{5 \, m^{-2\over3} \, n^4 \, q^4 \, q^2} \, \, \cdot \, \, \sqrt[3]{2 \, m^{1\over2} \, n^3 \, q^3 \, q^2}}$
	${= \vert n\vert \, \vert q\vert\sqrt[4]{5 \, m^{-2\over3} \, q^2} \, \, \cdot \, \, n \, \, q \sqrt[3]{2 \, m^{1\over2} \, q^2}}$
	${= \vert n\vert \, \vert q\vert \, n \, q \, \sqrt[4]{5 \, m^{-2\over3} \, q^2} \, \, \cdot \, \, \sqrt[3]{2 \, m^{1\over2} \, q^2}}$
	${= \vert n\vert \, \vert q\vert \, n \, q \, \sqrt[12]{(5 \, m^{-2\over3} \, q^2)^3} \, \, \cdot \, \, \sqrt[12]{(2 \, m^{1\over2} \, q^2)^4}}$
	${= \vert n\vert \, \vert q\vert \, n \, q \, \sqrt[12]{5^3 \, m^{-2} \, q^6} \, \, \cdot \, \, \sqrt[12]{2^4 \, m^2 \, q^8}}$
	${= \vert n\vert \, \vert q\vert \, n \, q \, \sqrt[12]{2000 \, m^{0} \, q^14}}$
	${= \vert n\vert \, \vert q\vert \, n \, q \, \sqrt[12]{2000 \, q^{12} \, q^2}}$
	${= \vert n\vert \, \vert q\vert \, n \, q \, \vert q\vert \, \sqrt[12]{2000 \, q^2}}$
	${= \vert n\vert \, \vert q\vert^2 \, n \, q \, \sqrt[12]{2000 \, q^2}}$
	o sea: ${\sqrt[4]{5 \, m^{-2\over3} \, n^4 \, q^6}} \, \, \cdot \, \, \sqrt[3]{2 \, m^... ...n^3 \, q^5}= \vert n\vert \, \vert q\vert^2 \, n \, q \, \sqrt[12]{2000 \, q^2}$

Ejemplo:

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a.) $\displaystyle{{-2 \, x^{-1} \, z^{-1}}\over{x^3 \, y^{-2} \, z}}$

b.) $\displaystyle \left({{-2 \, a^{-2} \, b^{-1}}\over{-4 \, a^{-4} \, b^{2}}} \right)^{-1}$

c.) $\displaystyle{\sqrt{{9 \, a^4 \, x^{-4}}\over{25 \, a^{-2} x^4}}}$

Solución:

a.)

$\displaystyle{{-2 \, x^{-1} \, z^{-1}}\over{x^3 \, y^{-2} \, z}}$

$= {\displaystyle{{-2 \, {1\over x} \, \cdot \, {1\over z}}\over{x^3 \, {1\over y^2} \, z}}}$

$= {\displaystyle{{{-2\over x \, z}}\over{x^3 \, z \, {1\over y^2}}}}$

$\displaystyle ={{{-2 \, y^2}\over{x \, z \, x^3 \, z}}}$

$\displaystyle{= {{-2 \, y^2}\over{x^4 \, z^2 }}}$

o sea:

$\displaystyle{{{-2 \, x^{-1} \, z^{-1}}\over{x^3 \, y^{-2} \, z}} = {{-2 \, y^2}\over{x^4 \, z^2 }}}$

b.)

: $\displaystyle \left({{-2 \, a^{-2} \, b^{-1}}\over{-4 \, a^{-4} \, b^{2}}} \right)^{-1}$

$= {\displaystyle \left( \, \, \, {{-2 \, a^{4}}\over{-4 \, a^{2} \, b^{2} \, b}} \, \, \, \right)^{-1}}$

$= {\displaystyle \left( \, \, \, {{a^{2}}\over{2 \, b^{3} }} \, \, \, \right)^{-1}}$

$= {\displaystyle{{a^{-2}}\over{2^{-1} \, b^{-3} }}}$

$= {\displaystyle {{2 \, \, b^3}\over{a^{2}}}}$

o sea:

$\displaystyle \left({{-2 \, a^{-2} \, b^{-1}}\over{-4 \, a^{-4} \, b^{2}}} \right)^{-1} = \displaystyle {{2 \, \, b^3}\over{a^{2}}}$

c.)

$\displaystyle{\sqrt{{9 \, a^4 \, x^{-4}}\over{25 \, a^{-2} x^4}}}$

$= {\displaystyle{\sqrt{{9 \, a^4 \, a^{2}}\over{25 \, x^{4} x^4}}}}$

$= {\displaystyle{{\sqrt{9 \, a^4 \, a^{2}}\ \over {\sqrt{{25 \, x^{4} x^4}}}}}}$

$= {\displaystyle{{\sqrt{3^2 \, a^2 \, a^2 \, a^{2}}\ \over {\sqrt{{5^2 \, x^2 \, x^2 \, x^2 \, x^2}}}}}}$

$= {{{\vert 3\vert \, \, \vert a\vert \, \, \vert a\vert \, \, \vert a\vert}\ove... ...\, \, \vert x\vert \, \, \vert x\vert \, \, \vert x\vert \, \, \vert x\vert}}}$

$= {{3 \, \, \, \vert a\vert^3}\over{5 \, \, \, \vert x\vert^4}}$

o sea: $\, \, \, \displaystyle{{\sqrt{{9 \, a^4 \, x^{-4}}\over{25 \, a^{-2} x^4}}} = {{3 \, \, \, \vert a\vert^3}\over{5 \, \, \, \vert x\vert^4}}}$

Ejercicio:

1. Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

a.) $\displaystyle{(\sqrt{75} \, x \, y^{3\over2}) \, \, \left( {{x^{1\over2} \, \, y^{1\over2}}\over{5 \, \sqrt{3}}} \right) }$
b.) $\displaystyle{\sqrt{8 \, a^2 \, b^2} \, \, - \, \, \sqrt{5 \, a \, b^2} \, \, - \, \, 2 \, c \, \sqrt{2} \, \, + \, \, 10 \, \sqrt{2a}}$

c.) ${({2\over3} \, \sqrt[3]{2 \, m^5 \, n^3}) \, \, {({3\over4} \, \sqrt{16 \, m \, n^2} )}}$

d.) $\displaystyle{( {4x \, \sqrt{a^3 \, \, \, x^2}}) \, \, {(2{\sqrt{a^2 \, \, x^3 }})}}$

e.) $\displaystyle{ {\sqrt{{{ab^2}\over{4c^2}}}}+{\sqrt{{9ab^4}\over{c^{-2}}}} \, \, - \, \, {\sqrt{a}}}$
f.) $\displaystyle{ \sqrt[3]{8 \, a^6 \, b^{-3} \, c^2}} \, \, + \, \, {{\left( {100 \, \, a^4 }\over{b^2 \, \, c^{4\over3}}\right)}}^{-1\over2}$

2. Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a.) $\displaystyle{{2 \, a^2 \, b^{-5} \, c^{-7}}\over{5 \, a^{-3} \, b^{-4}c^{-6}}}$

b.) $\displaystyle{{x \, y^{-1\over2} \, z^{-3}}\over{4 \, x^{-3\over4} \, y^2 \, z^{-2\over3}}}$

c.) $\displaystyle{\left( {3 \, x \, y^2 \, z^3}\over{x^{-1} \, y^{-2} \, z^{-3} }\right)^{-1}}$

d.) $\displaystyle{\sqrt[3]{{16 \, a^6 \, b^{-2} \, c^{-1} \, d}\over{-125 \, a^3 \, b^{-1} \, c }}}$

e.) $\displaystyle{\sqrt{{25 \, x^{-2} \, y^3}\over{100 \, x^{-4} \, y^2}}}$

f.) $\displaystyle{\sqrt[4]{{243 \, a^4 \, c^8 \, d^{-2}}\over{256 \, c^{-4} \, d^2}}}$

Matemáticas Autónoma de Nariño

6 sept 2010

Simplificación de fracciones con monomios.

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