25 sept 2010

División de polinomios de una varible

División de polinomios de una varible

Podemos observar que al efectuar la suma, la resta y el producto de dos polinomios, se obtiene otro polinomio. Sin embargo al dividir un polinomio por otro polinomio el resultado no necesariamente es un polinomio.

No obstante en cuanto a la división de polinomios se tiene el siguiente teorema:


Teorema: (Algoritmo de la división)

Dados dos polinomios $A(x)$ y , con , existen únicos polinomios$Q(x)$ y $R(x)$ tales que:

\begin{displaymath}A(x) \, = \, B(x) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)\end{displaymath}

con el grado de $R(x)$ menor que el grado de $B(x) \, \, o \, \, R(x) \, = \, 0$

$A(x)$ recibe el nombre de dividendo, $B(x)$ el de divisor, $Q(x)$ el de cociente y$R(x)$ el de residuo.

Los polinomios $Q(x)$ y $R(x)$ se obtiene al efectuar la división de $A(x)$ por $B(x)$ mediante el siguiente procedimiento.

Procedimiento para efectuar la división de A(x) por B(x)

a.)
Ordenar los polinomios $A(x)$ y B(x) , en forma descendente de acuerdo con el exponente de la variable.

b.)
Se divide el primer sumando del dividendo (el de mayor exponente)por el primer sumando del divisor (el de mayor exponente); el resultado es un sumando del cociente.

c.)
Se multiplica el sumando del cociente obtenido en el paso anterior por el divisor, y el resultado se resta del dividendo, obteniendo un residuo "parcial".

d.)
Si el residuo obtenido en el paso anterior es cero o de grado menor que el divisor, ahí terminó el procedimiento, en caso contrario se repiten los pasos (a), (b), (c) y (d), pero tomando como dividendo el residuo obtenido en el paso anterior.
Ejemplo:


Sea y B(x) = x-1

Efectúe la división de $A(x)$ por B(x) , e indique el cociente y el residuo

Solución:



Aquí el cociente es $x^2-4x-3$ y el residuo es $-4$.

Ejemplo:

Efectuar la división de $A(x)$ por $B(x)$ donde $A(x) = 2 \, - \, x^5; \, \, \, B(x) = x^2 \, + \, x$

Solución:

Aquí el cociente es $-x^3 \, + \, x^2 \, - \, x \, + \, 1$ y el residuo es $-x \, + \, 2$

Además:

$-x^5 \, + \, 2 \, = \, (x^2 \, + \, x) \, (-x^3 \, + \, x^2 \, - \, x \, + \, 1 ) \, + \, (-x \, + \, 2)$

Teorema
Sean $A(x), \, \, B(x), \, \, Q(x) \, \, $ y $ \, \, R(x)$ polinomios tales que $B(x) \not= 0$
Si $A(x) = B(x) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)$ entonces $\displaystyle{{A(x) \over B(x)} \, = \, Q(x) \, + \, {R(x) \over B(x) }}$

Demostración

$A(x) = B(x) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)$$\displaystyle{\Rightarrow}$$\displaystyle{{A(x) \over B(x)}}$=$\displaystyle{{B(x) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)} \over B(x)}$
$\displaystyle{\Rightarrow}$$\displaystyle{{A(x) \over B(x)}}$=$\displaystyle{{{B(x) \, \cdot \, Q(x)}\over{B(x)}} \, + \, {{R(x)}\over{B(x)}}}$
$\displaystyle{\Rightarrow}$$\displaystyle{{A(x) \over B(x)}}$=$\displaystyle{{Q(x)} \, + \, {{R(x)}\over{B(x)}}}$

Por lo que: $\displaystyle{{A(x) \over B(x)} = Q(x) \, + \, {R(x) \over B(x)}}$

Ejemplo:

a.)
Como $x^3 \, - \, 5x^2 \, + \, x \, - \, 1 \, = \, (x \, - \, 1)(x^2 \, - \, 4x \, - \, 3)-4$

entonces por el teorema anterior se cumple que:

$\displaystyle{{{x^3-5x^2+x-1} \over {x-1}} = {{x^2-4x-3} - {{4}\over{x-1}}}}$

b.)
Como $-x^5+2 =(x^2+x)(-x^3+x^2-x+1)+({-x+1}$)

entonces por el teorema anterior se cumple que:

$\displaystyle{{{-x^5+2}\over{x^2+x}}={{-x^3+x^2-x+1}+{{-x+1}\over{x^2+x}}}}$

Ejercicio:

Para cada par de polinomios $A(x)$ y $B(x)$ que se define a continuación realice la división de $A(x)$ por $B(x)$ e indique el cociente y el residuo que se obtiene al efectuar esta división.

1. $A(x) = 6x^5-5x^4-7x^2+3$;$B(x) = 3x^3-4x^2-x+1$
2. $A(x) = 2x^7-5x^5+8x^3+3x$;$B(x) = 2x^3-x$
3. $A(x) = x^3-5x^2-8x-4$;$B(x) = x-2$
4. $A(x) = 3x-5x^2+9+x^3$;$B(x) = 3-x$
5. $A(x) = 2x^4-3x^2-6x^3+1-3x$;$B(x) = -3x+x^2+1$

Definición:
Sean $A(x)$ y B(x) dos polinomios con . Si al dividir $A(x)$ por $B(x)$se obtiene como residuo cero entonces decimos que $A(x)$ es divisible por $B(x)$ y se cumple que: $A(x) = B(x) \, \cdot \, Q(x)$; donde $Q(x)$ es el cociente que se obtiene al dividir $A(x)$ por $B(x)$.

Ejemplo:

Sean $A(x)$ y $B(x)$ polinomios tales que:

$A(x) = x^3-4x^2+2x+1; \, \, \, B(x) = x^2-3x-1$

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $A(x)$ por $B(x)$.
¿Es $A(x)$ divisible por $B(x)$?

Solución:


Por lo que el cociente es $x-1$ y el residuo es $0$.
Como en este caso el residuo es $0, \, \, \, A(x)$ es divisible por B(x).

Ejercicio:

Para cada par de polinomios $A(x)$ y $B(x)$ que se definen a continuación determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $A(x)$ por $B(x)$.

¿Es $A(x)$ divisible por $B(x)$? Justifique su respuesta.

1. $A(x) = -3x^3+2x^2-3x+1$;$B(x) = 1+x^2$
2. $A(x) = 5x^4+10x^3+4x^2+7x-2$;$B(x) = x+2$
3. $A(x) = 2x-4x^2+3x^3-1$;$B(x) = 1+2x+x^2$
4. $A(x) = 2x^4+3x^3-x-5$;$B(x) = -5+2x^3+2x-x^2$



Observación: Si $A(x)$ es un polinomio de grado $n$, con 1$"> y si $B(x)$es un polinomio de grado1entonces al dividir A(x) por B(x) se obtiene:

a) Como cociente un polinomio $Q(x)$ de grado $n-1$ y

b) Como residuo una constante

Ejemplo:

Si $A(x) = 2x^3+x+1 \, \, \, \,$ y
Al dividir $A(x)$ por $B(x)$ se tiene:


En este caso se tiene que $A(x)$ en un polinomio de grado 3 y el cociente es un polinomio de grado 2.
Además el residuo es una constante.


Teorema:

Si $P(x)$ es un polinomio de grado 1$"> y $\alpha \in I \!\!R$ entonces $P(\alpha)$ es igual al residuo que se obtiene al dividir $P(x)$ por $x-\alpha$.

Demostración:

Como $P(x)$ y $x-\alpha$ son polinomios, por el algoritmo de la división, existen polinomios $Q(x)$ y $R(x)$ tales que:

$P(x) = (x-\alpha) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)$

Pero por la observación anterior $R(x)$ es una constante $C$ o sea

(*) $P(x) = (x-\alpha) \, Q(x) \, + \, C$; donde C es el residuo que se obtiene al dividir $P(x)$ por $x-\alpha$

Tenemos que demostrar que $P(\alpha) = C$

Sustituyendo la $x$ por $\alpha$ en (*) se tiene:

$P(\alpha) = (\alpha \, - \, \alpha) \, Q(\alpha) \, + \, C$

$P(\alpha) = 0 \, \cdot \, Q(\alpha) \, + \, C$

$P(\alpha) = C \, \, $; que es lo que se quería demostrar.

Ejemplo:

Si $P(x) = 3x^2+x+1$ y $B(x) = x-4$, al dividir $P(x)$ por $B(x)$ se tiene que:


En este caso tenemos que el residuo que se obtiene al dividir $3x^2+x+1$ por $x-4$ es $53$, pero por otro lado.

$P(4) = 3(4)^2+4+1 = 3(16)+4+1 = 48+4+1 = 53$
o sea $P(4) = 53$

Definición:
Sea $P(x)$ un polinomio y sea $\alpha$ un número real, $\alpha$ es un cero de $P(x)$ si y sólo sí.

Ejemplo:

a.)
Sea $P(x) = x^2-x-6$; se tiene que 3 y -2 son ceros de $P(x)$ porque:

$P(3) = 3^2-3-6 = 9-3-6 = 0$ o sea
$P(-2) = (-2)^2-(-2)-6 = 4+2-6 = 0$ o sea $P(-2) = 0$

b.)
Sea $A(x) = x^3+8$; se tiene que -2 es un cero de $A(x)$ porque:

$A(-2) = (-2)^3+8 = -8+8 = 0$, o sea $P(-2) = 0$

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