20 ago 2010

Propiedades de las potencias.

Considere los dos ejemplos siguientes:

a.) $\;\;2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^7$

b.) $\;\;\left( \displaystyle{ -1 \over \;\;5} \right)^3 \cdot \left( \displaystyle{... ...ystyle{ -1 \over \;\;5} \cdot = \left[ \displaystyle{ -1 \over \;\;5} \right]^4$

Estos ejemplos son casos particulares de la siguiente propiedad.

Proposición

Sean $a \in I\!\!R,\;\; n \in I\!\!N,\;\; m \in I\!\!N,\;$ si $\;a^m \in I\!\!R,\;\; a^n \in I\!\!R\;$ entonces


$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ejercicios

Usando la propiedad anterior determine el valor de $k$ en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera.

1.) $\;\; \displaystyle{ 2^3 \cdot 2^7} \; = \; \displaystyle{ 2^k} $3.) $\;\; \displaystyle{ 5^k \cdot 5^3} \; = \; \displaystyle{ 5^7} $
2.) $\;\; \displaystyle{ (-3)^2 \cdot (-3) } \; = \; \displaystyle{ (-3)^k} $4.) $\;\; \displaystyle{ 7 \cdot 7^k } \; = \; \displaystyle{ 7^11} $


Considere los dos ejemplos siguientes:

a.) $\;\; \displaystyle{ (9^2)^3 } \;$=$\;\; \displaystyle{ 9^2 \cdot 9^2 \cdot 9^2} $
=$\;\; \displaystyle{ (9 \cdot 9) \cdot (9 \cdot 9) \cdot (9 \cdot 9)} $
=$\;\;9^6$

b.) $\;\; \displaystyle{ \left[\left({-2 \over \;\;3}\right)^3\right]^2} $=$\;\; \displaystyle{ \left( {-2 \over \;\;3}\right)^3 \cdot \left({-2 \over \;\;3}\right)^3} $
=$\;\; \displaystyle{ \left[\left({-2 \over \;\;3}\right)\cdot \left({-2 \over \... ...\cdot\left({-2 \over \;\;3}\right)\cdot\left( {-2 \over \;\;3}\right)\right]} $
=$\;\; \displaystyle{ \left({-2 \over \;\;3}\right)^6} $

Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente propiedad:

Proposición

Sean $a \in I\!\!R,\;\; m \in I\!\!N,\;\; n \in I\!\!N\;$ y si $a^m \in I\!\!R\;$ entonces: $ \displaystyle{ \left(a^m\right)^n \; = \; {a^{m \cdot n}}} $

Ejercicios

Usando la propiedad anterior, determine el valor de $k$ en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera.


1.) $\;\; \displaystyle{ \left( 5^2 \right) ^3} \; $=$ \;\; \displaystyle{ 5^k} $3.) $\;\; \displaystyle{ \left( 13^2 \right) ^k} \; $=$ \;\; \displaystyle{ 13^{12}} $
2.) $\;\; \displaystyle{ \left( 7^k \right) ^4} \; $=$ \;\; \displaystyle{ 7^{20}} $4.) $\;\; \displaystyle{ \left[ \left( {2 \over 5} \right) ^4 \right]^3 } \; $=$ \; \displaystyle{ \left({2 \over 5}\right)^k} $


Sea $a \in I\!\!R,\;\; a \neq 0;\;\; m \in I\!\!N\;$ Se define $a^{-m}$ de la manera siguiente:

$ \displaystyle{ a^{-m} \; = \; {1 \over a^m}} $

Por ejemplo

a.) $\;\; \displaystyle{ 3^{-2}\; = \; {1 \over {3^2}}} $c.) $\;\; \displaystyle{ \left( {1 \over 2} \right)^{-3}\; = {1 \above 1pt \displaystyle{ \left({1\over2}\right)^3} }} $
b.) $\;\; \displaystyle{ (-5)^{-11}\; = \; {1\over \displaystyle{ \;(-5)^{11}} }} $d.) $\;\; \displaystyle{ (-6)^{-1}\; = \; \displaystyle{ 1 \over \displaystyle{ (-6)^1} } } $


Ejercicios:

Usando la propiedad anterior determine el valor de $k$ en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera.

1.) $\;\; \displaystyle{ (-7)^{-3} \; = \; {1 \over k^3}} $3.) $\;\; \displaystyle{ k^{-3}\; = \; {1 \over 6^3}} $
2.) $\;\; \displaystyle{ \left( {7 \over 5} \right) ^{-2} \; = \; {1 \above 1pt \displaystyle{ \left( {7 \over 5} \right) ^k } }} $4.) $\;\; \displaystyle{ k^{-4} \; = \; {1 \over (-5)^4}} $


Considere los dos ejemplos siguientes:

a.) $\;\; \displaystyle{ {6^5 \over 6^3}} \;$=$\; \displaystyle{ 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \over 6 \cdot 6 \cdot 6} $
=$\;6 \cdot 6$
=$\;6^2 $

b.) $\;\; \displaystyle{ {8^4 \over 8^7}} \;$=$\;\; \displaystyle{ 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \over 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8} $
=$\;\; \displaystyle{ {1 \over 8 \cdot 8 \cdot 8}} $
=$\;\; \displaystyle{ 1 \over 8^3} $
=$\;\; \displaystyle{ 8^{-3}} $


Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente propiedad:

Proposición


Si $a \in I\!\!R,\;\; a \neq 0, \;\; m \in I\!\!N,\;\; n \in I\!\!N\;$ entonces $ \displaystyle{ a^m \over a^n} \; = \; a^{m-n}$

Ejercicios

Usando la propiedad anterior determine el valor de $k$ en cada uno de las siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera.

1.) $\;\; \displaystyle{ {5^7 \over 5^4} \; = \; 5^k} $4.) $\;\; \displaystyle{ {7^3 \over 7^5} \; = \; 7^k} $
2.) $\;\; \displaystyle{ {(-3)^4 \over (-3)^6} \; = \; (-3)^k} $5.) $\;\; \displaystyle{ {(11)^6 \over (11)^k} \; = \; (11)^{-2}} $
3.) $\;\; \displaystyle{ {(4)^7 \over (k)^5} \; = \; 4^2} $6.) $\;\; \displaystyle{ {6^k \over 6^5} \; = \; 6} $


Considere los dos ejemplos siguientes:

a.) $\;\; \displaystyle{ (3 \cdot 5)^4} \;$=$\;\; \displaystyle{ (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) \cdot(3 \cdot 5)} $
=$\;\;(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5)$
=$\;\;3^4 \cdot 5^4 $

b.) $\;\; \displaystyle{ (-2 \cdot 6)^3} \;$=$\;\; \displaystyle{ (-2 \cdot 6) \cdot (-2 \cdot 6) \cdot (-2 \cdot 6)} $
=$\;\; \displaystyle{ [(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)] \cdot (6 \cdot 6 \cdot 6)} $
=$\;\; \displaystyle{ (-2)^3 \cdot 6^3} $

Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente propiedad:

Proposición

Si $a \in I\!\! R,\;\; b \in I\!\! R,\;\; n \in I\!\! N,\;$ si $\;a^n \in I\!\! R,\;\; b^n \in I\!\! R$ entonces $ \displaystyle{ (a \cdot b)^n \; = \; a^n \cdot b^n } $

Ejercicios

Usando la propiedad anterior determine el valor de $k$ en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera.

1.) $\;\; \displaystyle{ (4 \cdot 7)^3 \; = \; 4^k \cdot 7^3} $3.) $\;\; \displaystyle{ (8 \cdot k)^4 \; = \; 8^4 \cdot 7^4} $
2.) $\;\; \displaystyle{ (6 \cdot 9)^k \; = \; 6^5 \cdot 9^5} $4.) $\;\; \displaystyle{ \left({2 \over 7} \cdot {3 \over 5}\right)^7 \; = \;k^7 \cdot {3 \over 5}^7\; } $

Considere los dos ejemplos siguientes:


a.) $\;\; \displaystyle{ \left( {5 \over 4} \right)^3} \;$=$\;\; \displaystyle{ {5 \over 4} \cdot {5 \over 4} \cdot {5 \over 4}} $
=$\;\; \displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 5 \over (4 \cdot 4 \cdot 4)} $
=$\;\; \displaystyle{ 5^3 \over 4^3} $

b.) $\;\; \displaystyle{ \left( {-9 \over \;\;7} \right)^4} \;$=$\;\; \displaystyle{ \left({-9 \over \;\;7} \right) \cdot \left({-9 \over \;\;7... ...ght) \cdot \left({-9 \over \;\;7}\right) \cdot \left({-9 \over \;\;7}\right)} $
=$\;\; \displaystyle{ (-9) \cdot (-9) \cdot (-9) \cdot (-9) \over 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7} $
=$\;\; \displaystyle{ (-9)^4 \over 7^4} $

Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente propiedad:

Proposición

Si $a \in I\!\! R,\;\; b \in I\!\! R,\;\; a \neq 0,\;\; b \neq 0 $ y $ \;\; n \in I\!\! N,\;$ entonces $ \displaystyle{ \left[{a \over b}\right]^n \; = \; {a^n \over b^n} } $

Ejercicios

Usando la propiedad anterior determine el valor de $k$ en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera.

1.) $\;\; \displaystyle{ \left({2 \over 3}\right)^5 \; = \; {2^5 \over 3^k}} $3.) $\;\; \displaystyle{ \left({2 \over k}\right)^3 \; = \; {8 \over 125}} $
2.) $\;\; \displaystyle{ \left({-3 \over \;\;4}\right)^k \; = \; {-27 \over 64}} $4.) $\;\; \displaystyle{ \left({5 \over 2}\right)^6 \; = {5^{2+k} \over 64}\; } $

Notación

Si $a \in I\!\! R,\;\; n \in I\!\! N\;$ y $ \; a^n \in I\!\! R,\;$ entonces $ \displaystyle{ -a^n \; = \; -(a^n) } $

Por ejemplo

a.) $\;\; \displaystyle{ -5^3} \;$=$\;\; \displaystyle{ -(5^3)} $
=$\;\; \displaystyle{ -(5 \cdot 5 \cdot 5)} $
=$\;\; \displaystyle{ -125} $

b.) $\;\; \displaystyle{ -2^6} \;$=$\;\; \displaystyle{ -(2^6)} $
=$\;\; \displaystyle{ -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)} $
=$\;\; \displaystyle{ -64} $

Ejercicios

En cada uno de los siguientes siguientes casos, escriba en notación decimal el numero que corresponde a $m$, para que la igualdad sea verdadera.

1.)$\;\; m \;$=$\; \displaystyle{ -7^2} $5.)$\;\; m \;$=$\; \displaystyle{ -(7)^2} $
2.)$\;\; m \;$=$\; \displaystyle{ -3^4} $6.)$\;\; m \;$=$\; \displaystyle{ -(3)^4} $
3.)$\;\; m \;$=$\; \displaystyle{ -2^5} $7.)$\;\; m \;$=$\; \displaystyle{ -(2)^5} $
4.)$\;\; m \;$=$\; \displaystyle{ -4^3} $8.)$\;\; m \;$=$\; \displaystyle{ -(4)^3} $


Observacion importante: Considere los siguientes ejemplos:


$\left. \begin{array}{lllll} \mbox{a.)} \;\; \displaystyle{ -3^2} \; & = & \; \... ...\; \displaystyle{ (-3)(-3)} \; & = & \displaystyle{ 9} \\ \end{array}\right\}$ Caso I


$\left. \begin{array}{lllllll} \mbox{c.)} \;\; \displaystyle{ -2^5} \; & = & \;... ...le{ (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)} \; & = & \displaystyle{ -32} \\ \end{array}\right\}$ Caso II


En los ejemplos presentados anteriormente caso I y caso II podemos observar que: En general no siempre se cumple que $-a^n$ sea igual a $(-a^n)$ .

Ejercicios

Sea a $a \in I \!\!R,\;\; a \neq 0,\;\; n \in I \!\!N,\;\; a^n \in I \!\!R\;\;$

  1. Qué condiciones debe cumplir $n$ para que $-a^n$ sea igual a $(-a^n)$?
  2. Qué condiciones debe cumplir $n$ para que $-a^n$ sea diferente a $(-a^n)$?


Observe cada una de las siguientes igualdades:

a.) $\;\; \displaystyle{ (-7)^2} \;$=$\; \displaystyle{ 49} $d.) $\;\; \displaystyle{ (-2)^6} \;$=$\; \displaystyle{ 64} $
b.) $\;\; \displaystyle{ 2^4} \;$=$\; \displaystyle{ 16} $e.) $\;\; \displaystyle{ \left({-1 \over \;\;5}\right)^2} \;$=$ \displaystyle{ 1 \over 25} $
c.) $\;\; \displaystyle{ (-3)^4} \;$=$\; \displaystyle{ 81} $f.) $\;\; \displaystyle{ (-1)^{10}} \;$=$ \displaystyle{ 1} $


Los ejemplos anteriores son casos particulares del siguiente resultado:


Si $a \in I\!\!R,\;\; n \in I\!\!N,\;\; n $ par y $\;a^n \in I\!\!R\;$ entonces $\;a^n \geq 0$


Así:


Si $a \in I\!\!R\;$ entonces $\;a^2 \geq 0,\;\; a^4 \geq 0,\;\; a^6 \geq 0, \;...$


Ejemplo

Determine la fracción canónica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:


a.) $\;\; \displaystyle{ 2^2 \cdot 3^5 \cdot 2^4 \over 3^2 \cdot 2^7} $d.) $\;\; \displaystyle{ -25^6 \cdot 14^{10} \cdot (-4)^0 \over (-7)^{10} \cdot 10^{10}} $
b.) $\;\; \displaystyle{ 3+2^{-1} \over 5 \cdot 2^{-1}} $e.) $\;\; \displaystyle{ \left[{2^2 \cdot 3^5 \cdot 4^2 \over 2^4 \cdot 3^2}\right]^2} $
c.) $\;\; \displaystyle{ -3^{-2} \above 1pt \left(1+ \displaystyle{ 4 \over 3} \right)^2} $f.) $\;\; \displaystyle{ 2^3+2^5-\left( \displaystyle{ 1 \over 8} \right)^{-1} \above 1pt 2^4 \cdot 3} $


Solución

a.) $\;\; \displaystyle{ 2^2 \cdot 3^5 \cdot 2^4 \over 3^2 \cdot 2^7} \;$=$\;\; \displaystyle{ 2^2 \cdot 2^4 \cdot 3^5 \over 2^7 \cdot 3^2} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^6 \cdot 3^5 \over 2^7 \cdot 3^2} $
=$\;\; \displaystyle{ {2^6 \over 2^7} \cdot {3^5 \over 3^2}} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^{6-7} \cdot 3^{5-2}} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^{-1} \cdot 3^3} $
=$\;\; \displaystyle{ {1 \over 2} \cdot 3^3} $
=$\;\; \displaystyle{ {1 \over 2} \cdot 27} $
=$\;\; \displaystyle{ 27 \over 2} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ 2^2 \cdot 3^5 \cdot 2^4 \over 3^2 \cdot 2^7} \;$=$ \displaystyle{ 27 \over 2} $

b.) $\;\; \displaystyle{ 3+2^{-1} \over 5 \cdot 2^{-1}} \;$=$\;\; \displaystyle{ 3+ \displaystyle{ 1 \over 2} \above 1pt 5 \cdot \displaystyle{ 1 \over 2} } $
=$\;\; \displaystyle{ \displaystyle{ 6+1 \over 2} \above 1pt \displaystyle{ 5 \over 2} } $
=$\;\; \displaystyle{ \displaystyle{ 7 \over 2} \above 1pt \displaystyle{ 5 \over 2} } $
=$\;\; \displaystyle{ (7) \cdot (2) \over (2) \cdot (5)} $
=$\;\; \displaystyle{ 7 \over 5} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ 3+2^{-1} \over 5 \cdot 2^{-1}} \;$=$ \displaystyle{ 7 \over 5} $

c.) $\;\; \displaystyle{ -3^{-2} \above 1pt \left[1+ \displaystyle{ 4 \over 3} \right]^2} \;$=$\;\; \displaystyle{ -3^{-2} \above 1pt \left[ \displaystyle{ 3+4 \over 3} \right]^2} $
=$\;\; \displaystyle{ \displaystyle{ -1 \over \;(3)^2} \above 1pt \;\left[ \displaystyle{ 7 \over 3} \right]^2} $
=$\;\; \displaystyle{ \displaystyle{ -1 \over \;\;9} \above 1pt \;\; \displaystyle{ 7^2 \over 3^2} } $
=$\;\; \displaystyle{ \displaystyle{ -1 \over \;\;9} \above 1pt \;\; \displaystyle{ 49 \over 9} } $
=$\;\; \displaystyle{ (-1)(9) \over (9)(49)} $
=$\;\; \displaystyle{ -1 \over \;\;49} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ -3^{-2} \above 1pt \left[1+ \displaystyle{ 4 \over 3} \right]^2} \;$=$ \displaystyle{ -1 \over \;\;49} $

d.) $\;\; \displaystyle{ -25^6 \cdot 14^{10} \cdot (-4)^0 \over (-7)^{10} \cdot 10^{10}} \;$=$\;\; \displaystyle{ -(25)^6 \cdot (2 \cdot 7)^{10} \cdot 1 \over 7^{10} \cdot (2 \cdot 5)^{10}} $
=$\;\; \displaystyle{ -(5^2)^6 \cdot 2^{10} \cdot 7^{10} \over 7^{10} \cdot 2^{10} \cdot 5^{10}} $
=$\;\; \displaystyle{ -(5^{12}) \cdot 2^{10} \cdot 7^{10} \over 5^{10} \cdot 2^{10} \cdot 7^{10}} $
=$\;\; \displaystyle{ {-(5^{12}) \over \;\;5^{10}} \cdot {2^{10} \over 2^{10}} \cdot {7^{10} \over 7^{10}}} $
=$\;\; \displaystyle{ -(5^{12-10}) \cdot 2^{10-10} \cdot 7^{10-10}} $
=$\;\; \displaystyle{ -(5^2) \cdot 2^0 \cdot 7^0} $
=$\;\; \displaystyle{ -(25) \cdot 1 \cdot 1} $
=$\;\; \displaystyle{ -25} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ -25^6 \cdot 14^{10} \cdot (-4)^0 \over (-7)^{10} \cdot 10^{10}} \;$=$ \displaystyle{ -25} $

e.) $\;\; \displaystyle{ \left[{2^2 \cdot 3^5 \cdot 4^2 \over 2^4 \cdot 3^2}\right]^2} \;$=$\;\; \displaystyle{ \left[{2^2 \cdot 3^5 \cdot (2^2)^2 \over 2^4 \cdot 3^2}\right]^2} $
=$\;\; \displaystyle{ \left[{2^2 \cdot 2^4 \cdot 3^5 \over 2^4 \cdot 3^2}\right]^2} $
=$\;\; \displaystyle{ \left[{2^6 \cdot 3^5 \over 2^4 \cdot 3^2}\right]^2} $
=$\;\; \displaystyle{ \left[{2^6 \over 2^4} \cdot {3^5 \over 3^2}\right]^2} $
=$\;\; \displaystyle{ \left[2^{6-4} \cdot 3^{5-2}\right]^2} $
=$\;\; \displaystyle{ \left[2^2 \cdot 3^3 \right]^2} $
=$\;\; \displaystyle{ (2^2)^2 \cdot (3^3)^2 } $
=$\;\; \displaystyle{ 2^4 \cdot 3^6 } $
=$\;\; \displaystyle{ 11.664} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ \left[{2^2 \cdot 3^5 \cdot 4^2 \over 2^4 \cdot 3^2}\right]^2} \;$=$ \displaystyle{ 11.664} $

f.) $\;\; \displaystyle{ 2^3+2^5-\left( \displaystyle{ 1 \over 8} \right)^{-1} \above 1pt 2^4 \cdot 3} \;$=$\;\; \displaystyle{ 2^3+2^5- \displaystyle{ 1 \above 1pt \displaystyle{ 1\over8} } \above 1pt 2^4 \cdot 3} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^3+2^5-8 \over 2^4 \cdot 3} $
=$\;\; \displaystyle{ 8-8+2^5 \over 2^4 \cdot 3} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^5 \over 2^4 \cdot 3} $
=$\;\; \displaystyle{ {2^5 \over 2^4} \cdot {1\over3}} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^{5-4} \cdot {1\over3}} $
=$\;\; \displaystyle{ 2 \cdot {1\over3}} $
=$\;\; \displaystyle{ 2\over3} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ 2^3+2^5-\left( \displaystyle{ 1 \over 8} \right)^{-1} \above 1pt 2^4 \cdot 3} \;$=$ \displaystyle{ 2\over3} $

Ejercicios

Determine la fracción canónica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

1.) $\;\; \displaystyle{ (3^4)^3 \cdot (3^2)^4 \over (-3)^{15} \cdot 3^4} $6.) $\;\; \displaystyle{ 25^6 \cdot 14^{10} \over -7^{10} \cdot 10^{10}} $
2.) $\;\; \displaystyle{ (-3)^7 \cdot 3^9 \over (-3)^{15} \cdot 3^4} $7.) $\;\; \displaystyle{ 35^{11} \cdot 49^4 \cdot (-12)^{-31} \over 10^{12} \cdot 6^{30} \cdot (-14)^{20}} $
3.) $\;\; \displaystyle{ 1-3^{-1}-2 \cdot 3^{-2} \over 3^{-1}+3^{-2}} $8.) $\;\; \displaystyle{ -3 \cdot 4^{-1}+1+2 \cdot 4^{-2} \over 4^{-1}-2 \cdot 4^{-2}} $
4.) $\;\; \displaystyle{ 1+4^{-1}-2 \cdot 4^{-2} \over 6 \cdot 4^{-2}+1+5 \cdot 4^{-1}} $9.) $\;\; \displaystyle{ 2+7 \cdot 5^{-1}+3 \cdot 5^{-2} \over 2+3 \cdot 5^{-1}-2 \cdot 5^{-2}} $
5.) $\;\; \displaystyle{ (2-3 \cdot 7)^{-1} \over 5+3^{-1}} $10.) $\;\; \displaystyle{ \displaystyle{ 1\over2} +\left[ \displaystyle{ 3 \over 4} \right]^2 \above 1pt \displaystyle{ -5^2\over\;4} } $

Teorema

Si $a \in I\!\!R,\;\; b \in I\!\!R,\;\; c \in I\!\!R,\;\; d \in I\!\!R,\;\; a \neq 0,\;\; b \neq 0,\;\; d \neq 0,\;\; n \in I\!\!N,\;\; m \in I\!\!N,\;$ entonces se cumple la siguiente igualdad:

$ \displaystyle{ {a^{-n} \cdot c \over b^{-m} \cdot d}\;=\;{b^m \cdot c \over a^n \cdot d}} $

Ejemplo

Determine la fracción canónica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

a.) $\;\; \displaystyle{ 6^{-5} \cdot 2^3 \over 3^{-4}} $b.) $\;\; \displaystyle{ 2^{-3} \cdot 14^{-2} \cdot 7^2 \over 2^{-5}} $c.) $\;\; \displaystyle{ 2^{-4} \cdot 3^{-1} \over 10^{-3} \cdot 3^{-2} \cdot 5^4} $


Solución


a.) $\;\; \displaystyle{ 6^{-5} \cdot 2^3 \over 3^{-4}} \;$=$\;\; \displaystyle{ 3^4 \cdot 2^3 \over 6^5} $
=$\;\; \displaystyle{ 3^4 \cdot 2^3 \over (2 \cdot 3)^5} $
=$\;\; \displaystyle{ 3^4 \cdot 2^3 \over 2^5 \cdot 3^5} $
=$\;\; \displaystyle{ 1 \over 2^{5-3} \cdot 3^{5-4}} $
=$\;\; \displaystyle{ 1 \over 2^2 \cdot 3^1} $
=$\;\; \displaystyle{ 1 \over 4 \cdot 3} $
=$\;\; \displaystyle{ 1 \over 12} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ 6^{-5} \cdot 2^3 \over 3^{-4}} \;$=$ \displaystyle{ 1 \over 12} $

b.) $\;\; \displaystyle{ 2^{-3} \cdot 14^{-2} \cdot 7^2 \over 2^{-5}} \;$=$\;\; \displaystyle{ 2^5 \cdot 7^2 \over 2^3 \cdot 14^2} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^5 \cdot 7^2 \over 2^3 \cdot (2 \cdot 7)^2} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^5 \cdot 7^2 \over 2^3 \cdot 2^2 \cdot 7^2} $
=$\;\; \displaystyle{ 2^5 \over 2^3 \cdot 2^2 } $
=$\;\; \displaystyle{ 2^5 \over 2^5 } $
=$\;\; \displaystyle{ 1} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ 2^{-3} \cdot 14^{-2} \cdot 7^2 \over 2^{-5}} \;$=$ \displaystyle{ 1} $

c.) $\;\; \displaystyle{ 2^{-4} \cdot 3^{-1} \over 10^{-3} \cdot 3^{-2} \cdot 5^4} \;$=$\;\; \displaystyle{ 10^3 \cdot 3^2 \over 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^4} $
=$\;\; \displaystyle{ (5 \cdot 2)^3 \cdot 3^2 \over 2^4 \cdot 3 \cdot 5^4} $
=$\;\; \displaystyle{ 5^3 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \over 2^4 \cdot 3 \cdot 5^4} $
=$\;\; \displaystyle{ 3^{2-1} \over 2^{4-3} \cdot 5^{4-3}} $
=$\;\; \displaystyle{ 3^1 \over 2^1 \cdot 5^1} $
=$\;\; \displaystyle{ 3 \over 2 \cdot 5} $
=$\;\; \displaystyle{ 3 \over 10} $

Por lo que:

$\;\; \displaystyle{ 2^{-4} \cdot 3^{-1} \over 10^{-3} \cdot 3^{-2} \cdot 5^4} \;$=$ \displaystyle{ 3 \over 10} $

Ejercicios

Determine la fracción canónica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

1.) $\;\; \displaystyle{ 4^{-3} \cdot 6^2 \over 2^{-8} \cdot 3^2} $4.) $\;\; \displaystyle{ -6^{-3} \cdot 4^3 \over 2^5 \cdot 3^{-2}} $7.)$\;\; \displaystyle{ 10^2 \cdot (-5)^{-2} \cdot (-2)^{-5} \over 5 \cdot (-3)^0} $
2.) $\;\; \displaystyle{ 3-{4^{-2} \over 3^{-1}}} $5.) $\;\; \displaystyle{ (-7)^2 \cdot 3^{-5} \over (14)^2 \cdot 3^{-4}} $8.) $\;\; \displaystyle{ {5 \over 2} + {2 \cdot 3^{-2} \over 2^{-1}}} $
3.)$\;\; \displaystyle{ 10^{-2} \cdot 6^{-30} \cdot 35^{11} \cdot 49^4 \over (-14)^{20} \cdot (-12)^{-31}} $6.)$\;\; \displaystyle{ 21^{27} \cdot (-35)^{14} \cdot 8^9 \over (-45)^{-13} \cdot 14^{13} \cdot 12^{10} \cdot 27^{14}} $

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