26 sept 2010
DEFINICIÓN DE LIMITE
Definición de límite
Sea una función definida en una vecindad del punto .
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Luego, si y solo si para cada tal que si, entonces .
En forma gráfica se tiene:
para cada | existe |
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También el puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad se deduce que , entonces todos los puntos en la gráfica de la función con ecuación , que corresponden a los puntos que se localizan a una distancia no mayor que del punto , se encontrarán dentro de una franja de ancho ,limitada por las rectas, como se muestra en la siguiente figura:
Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente , establece que los valores de la función se aproximan a un límite , conforme se aproxima a un número , sí el valor absoluto de la diferencia entre se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".
Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:
Ejemplo:
- a.
- Probar que
Solución:Debe probarse que dado tal que siempre que .
Vamos a establecer una relación entre .
Como o sea.
Entonces, para hacer menor que , es suficiente que, por lo que puede tomarse .
Luego, dado , existe tal que si entonces.
- b.
- Probar que
Solución:Dada , debe encontrarse tal que siempre que.
Como entonces para que sea menor que es suficiente que por lo que podemos tomar .
Luego, dado , existe tal que siempre que .
- c.
- Probar que
Solución:Debe encontrarse en términos de , tal que sea menor que cuando . Se tiene que
Como lo que nos interesa es el límite cuando tiende a 1, vamos a considerar los valores de que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.
Así, tomamos de donde y por tanto .
Vamos a determinar un número para el que cuando .
De la desigualdad se obtiene que por lo que y puede tomarse .
Luego cuando
Además es menor que
Por tanto, si se toma como el menor de los números entonces cuando
Por ejemplo, si se toma entonces y cuando
En general, el determinar el mediante el uso directo de la definición es difícil, por lo que para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que estudiaremos más adelante.
Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en un punto. En síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a un determinado valor en el eje .
Ejemplo:
Determinar: , , , , , utilizando para ello la siguiente representación gráfica de la función :
Solución
A partir de la gráfica de se tiene que:
, , , , ,
Ejercicio:
Determinar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la función , que se da a continuación:
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